ေရႊပြဲလာတုိ႕၏ အားေပးမႈ

၂၀၀၉ ခုႏွစ္ ၾသဂုတ္လ ၁ ရက္ေန႕မွစ၍ လက္မွတ္ေစာင္ေရေပါင္း ေစာင္ တိတိ ေရာင္းခ်ခဲ့ရၿပီး ျဖစ္ပါသည္။

အမာခံ ပရိသတ္တုိ႔အတြက္ ...

Thursday, August 27, 2009

9 ခုၾကြင္း သက္ေသျပခ်က္

ကိန္းျပည့္တစ္လံုး (ဥပမာ 837) ကုိ 9 ႏွင့္ စား၍ ျပတ္/မျပတ္ သိႏုိင္ရန္အတြက္ တကယ္ စားၾကည့္ရန္ မလုိအပ္ပဲ ၄င္း ကိန္းျပည့္တြင္ ပါ၀င္ေသာ ဂဏန္းမ်ား၏ ပကတိတန္ဖုိးမ်ား ေပါင္းလဒ္ကုိ 9 ႏွင့္ စားလုိ႕ ျပတ္/မျပတ္ စစ္ေဆးျခင္းျဖင့္ သိႏုိင္ေၾကာင္း (ဥပမာ 8 + 3 + 7 = 18 ျဖစ္ရာ 837 သည္ 9 ႏွင့္စား၍ ျပတ္သည္) အေျခခံပညာတန္းတြင္ သင္ၾကား သိရွိၿပီး ျဖစ္သည္။ သုိ႕ရာတြင္ ၄င္းသီ၀ရီ မွန္ကန္ေၾကာင္း သက္ေသျပခ်က္ကုိ လူအမ်ား သိရွိမႈ နည္းပါးသျဖင့္ ေရးသား တင္ျပအပ္ပါသည္။

သက္ေသျပရန္။

ေပးထားေသာ ကိန္းျပည့္တစ္ခု Z = z0 × 100 + z1 × 101 + z2 × 102 + … + zn × 10n အတြက္

မွီခ်က္ f(Z) = f(z0 + z1 + z2 + … + zn) if z0 + z1 + z2 + … + zn > 9;

f(Z) = z0 + z1 + z2 + … + zn otherwise ျဖစ္ပါေစ။ Z mod 9 = f(Z) ျဖစ္ေၾကာင္း သက္ေသျပပါ။

သက္ေသျပခ်က္။

အစားသီ၀ရီ (Theory of Division a.k.a Procedure of Division) အရ မည္သည့္ကိန္းျပည့္ Z ကုိမဆုိ Z = pq + r ပံုစံျဖင့္ ေဖၚျပႏုိင္ပါသည္ (Z၊ p၊ q ႏွင့္ r တုိ႕သည္ ကိန္းျပည့္မ်ားျဖစ္၍ r သည္ q ထက္အၿမဲငယ္သည္)။ ဤေနရာတြင္ q = 9 ျဖစ္လွ်င္ မည္သည့္ကိန္းျပည့္ Z ကုိမဆုိ Z = 9p + r အျဖစ္ ေျပာင္းေရးႏုိင္သည္။ (၄င္း p နဲ႕ r တုိ႕သည္ Z ကုိ q ႏွင့္ စားလုိ႕ရသည့္ စားလဒ္နဲ႕ စားၾကြင္းျဖစ္ၿပီး r သည္ 9 ထက္ အၿမဲငယ္ေၾကာင္း သတိျပဳပါ။) ထုိ႕ေၾကာင့္ ကိန္းျပည့္ Z = 9p + r တုိင္းကုိ 9 ႏွင့္ စားလွ်င္ p ရၿပီး r ၾကြင္းသည္။

မည္သည့္ အေပါင္းကိန္းျပည့္ k အတြက္မဆုိ 10k = 9 × 100 + 9 × 101 + … + 9 * 10k-1 + 1 ျဖစ္သည္။ 9 ကုိ ဘံုထုတ္လွ်င္ 10k = 9(100 + 101 + … + 10k-1) + 1 ဟုရလာမည္။

မွီခ်က္ g(0) = 0; g(k) = 100 + 101 + … + 10k-1 ျဖစ္ပါေစ။ 10k = 9g(k) + 1 ျဖစ္မည္။

Z = z0 × 100 + z1 × 101 + z2 × 102 + … + zn × 10n

= z0 (9g(0) + 1) + z1 × (9g(1) + 1)
+ z2 × (9g(2) + 1) + … + zn × (9g(n) + 1)

= 9g(0)z0 + z0 + 9g(1)z1 + z1
+ 9g(2)z2 + z2 + … + 9g(n)zn + zn

= 9 (g(0)z0 + 9g(1)z1 + 9g(2)z2 + … + 9g(n)zn) + z0 + z1
+ z2 + … + zn

z' = z0 + z1
+ z2 + … + zn ျဖစ္ပါေစ။

ကိန္းျပည့္ Z ကုိ 9 ႏွင့္ စားလွ်င္ ရသည့္ စားၾကြင္းႏွင့္ z' ကုိ 9 ႏွင့္စားရင္ ရသည့္ စားၾကြင္းတုိ႕ အတူတူပဲ ျဖစ္ပါသည္။ တနည္းအားျဖင့္ z' သည္ 9 ထက္ငယ္ပါက Z ကုိ 9 ႏွင့္စားလွ်င္ ရတဲ့ စားၾကြင္း Z mod 9 = z' ျဖစ္ၿပီး z' သည္ 9 ထက္ မငယ္ရင္ေတာ့ Z mod 9 = z' mod 9 ျဖစ္သည္။ မည္သုိ႕ပင္ျဖစ္ေစ z' သည္ Z ထက္ ငယ္ကုိငယ္သည္။ အဘယ္ေၾကာင့္ဆုိေသာ္ ခုဂဏန္း n လံုးေပါင္းျခင္းသည္ 9n ထက္ ပုိမႀကီးႏုိင္ပဲ 9n သည္ 10n ထက္ ငယ္ကုိငယ္ေသာေၾကာင့္ (အေပါင္းကိန္းျပည့္ n တုိင္းအတြက္ 10n သည္ 10n ထက္မငယ္လွ်င္ပင္ တူေနသည္) ျဖစ္သည္။

ထုိ႕ေၾကာင့္ ကိန္းျပည့္ Z ကုိ 9 ျဖင့္စားလွ်င္ ရမည့္ စားၾကြင္း = Z mod 9 = h(Z) = z' if z' < 9; h(z') otherwise; ဟူ၍ တပတ္လည္ မွီခ်က္ recursive function hကုိ အသံုးျပဳကာ စားၾကြင္း Z mod 9 ကုိရွာျခင္းသည္ တခ်ိန္ခ်ိန္တြင္ စုဆံု (converge) မည္မွာ မုခ်ျဖစ္ေၾကာင္း သိႏုိင္သည္။

သုိ႕ရာတြင္ မွီခ်က္ h= f ပင္ ျဖစ္သျဖင့္ f(Z) = Z mod 9 ျဖစ္ပါသည္။

No comments: