9 ခုၾကြင္း သက္ေသျပခ်က္

ကိန္းျပည့္တစ္လံုး (ဥပမာ 837) ကုိ 9 ႏွင့္ စား၍ ျပတ္/မျပတ္ သိႏုိင္ရန္အတြက္ တကယ္ စားၾကည့္ရန္ မလုိအပ္ပဲ ၄င္း ကိန္းျပည့္တြင္ ပါ၀င္ေသာ ဂဏန္းမ်ား၏ ပကတိတန္ဖုိးမ်ား ေပါင္းလဒ္ကုိ 9 ႏွင့္ စားလုိ႕ ျပတ္/မျပတ္ စစ္ေဆးျခင္းျဖင့္ သိႏုိင္ေၾကာင္း (ဥပမာ 8 + 3 + 7 = 18 ျဖစ္ရာ 837 သည္ 9 ႏွင့္စား၍ ျပတ္သည္) အေျခခံပညာတန္းတြင္ သင္ၾကား သိရွိၿပီး ျဖစ္သည္။ သုိ႕ရာတြင္ ၄င္းသီ၀ရီ မွန္ကန္ေၾကာင္း သက္ေသျပခ်က္ကုိ လူအမ်ား သိရွိမႈ နည္းပါးသျဖင့္ ေရးသား တင္ျပအပ္ပါသည္။

သက္ေသျပရန္။

ေပးထားေသာ ကိန္းျပည့္တစ္ခု Z = z₀ × 10⁰ + z₁ × 10¹ + z₂ × 10² + … + z_n × 10ⁿ အတြက္

မွီခ်က္ f(Z) = f(z₀ + z₁ + z₂ + … + z_n) if z₀ + z₁ + z₂ + … + z_n > 9;

f(Z) = z₀ + z₁ + z₂ + … + z_n otherwise ျဖစ္ပါေစ။ Z mod 9 = f(Z) ျဖစ္ေၾကာင္း သက္ေသျပပါ။

သက္ေသျပခ်က္။

အစားသီ၀ရီ (Theory of Division a.k.a Procedure of Division) အရ မည္သည့္ကိန္းျပည့္ Z ကုိမဆုိ Z = pq + r ပံုစံျဖင့္ ေဖၚျပႏုိင္ပါသည္ (Z၊ p၊ q ႏွင့္ r တုိ႕သည္ ကိန္းျပည့္မ်ားျဖစ္၍ r သည္ q ထက္အၿမဲငယ္သည္)။ ဤေနရာတြင္ q = 9 ျဖစ္လွ်င္ မည္သည့္ကိန္းျပည့္ Z ကုိမဆုိ Z = 9p + r အျဖစ္ ေျပာင္းေရးႏုိင္သည္။ (၄င္း p နဲ႕ r တုိ႕သည္ Z ကုိ q ႏွင့္ စားလုိ႕ရသည့္ စားလဒ္နဲ႕ စားၾကြင္းျဖစ္ၿပီး r သည္ 9 ထက္ အၿမဲငယ္ေၾကာင္း သတိျပဳပါ။) ထုိ႕ေၾကာင့္ ကိန္းျပည့္ Z = 9p + r တုိင္းကုိ 9 ႏွင့္ စားလွ်င္ p ရၿပီး r ၾကြင္းသည္။

မည္သည့္ အေပါင္းကိန္းျပည့္ k အတြက္မဆုိ 10^k = 9 × 10⁰ + 9 × 10¹ + … + 9 * 10^k-1 + 1 ျဖစ္သည္။ 9 ကုိ ဘံုထုတ္လွ်င္ 10^k = 9(10⁰ + 10¹ + … + 10^k-1) + 1 ဟုရလာမည္။

မွီခ်က္ g(0) = 0; g(k) = 10⁰ + 10¹ + … + 10^k-1 ျဖစ္ပါေစ။ 10^k = 9g(k) + 1 ျဖစ္မည္။

Z = z₀ × 10⁰ + z₁ × 10¹ + z₂ × 10² + … + z_n × 10ⁿ

= z₀ (9g(0) + 1) + z₁ × (9g(1) + 1)
+ z₂ × (9g(2) + 1) + … + z_n × (9g(n) + 1)

= 9g(0)z₀ + z₀ + 9g(1)z₁ + z₁
+ 9g(2)z₂ + z₂ + … + 9g(n)z_n + z_n

= 9 (g(0)z₀ + 9g(1)z₁ + 9g(2)z₂ + … + 9g(n)z_n) + z₀ + z₁
+ z₂ + … + z_n

z' = z₀ + z₁
+ z₂ + … + z_n ျဖစ္ပါေစ။

ကိန္းျပည့္ Z ကုိ 9 ႏွင့္ စားလွ်င္ ရသည့္ စားၾကြင္းႏွင့္ z' ကုိ 9 ႏွင့္စားရင္ ရသည့္ စားၾကြင္းတုိ႕ အတူတူပဲ ျဖစ္ပါသည္။ တနည္းအားျဖင့္ z' သည္ 9 ထက္ငယ္ပါက Z ကုိ 9 ႏွင့္စားလွ်င္ ရတဲ့ စားၾကြင္း Z mod 9 = z' ျဖစ္ၿပီး z' သည္ 9 ထက္ မငယ္ရင္ေတာ့ Z mod 9 = z' mod 9 ျဖစ္သည္။ မည္သုိ႕ပင္ျဖစ္ေစ z' သည္ Z ထက္ ငယ္ကုိငယ္သည္။ အဘယ္ေၾကာင့္ဆုိေသာ္ ခုဂဏန္း n လံုးေပါင္းျခင္းသည္ 9n ထက္ ပုိမႀကီးႏုိင္ပဲ 9n သည္ 10n ထက္ ငယ္ကုိငယ္ေသာေၾကာင့္ (အေပါင္းကိန္းျပည့္ n တုိင္းအတြက္ 10n သည္ 10ⁿ ထက္မငယ္လွ်င္ပင္ တူေနသည္) ျဖစ္သည္။

ထုိ႕ေၾကာင့္ ကိန္းျပည့္ Z ကုိ 9 ျဖင့္စားလွ်င္ ရမည့္ စားၾကြင္း = Z mod 9 = h(Z) = z' if z' < 9; h(z') otherwise; ဟူ၍ တပတ္လည္ မွီခ်က္ recursive function hကုိ အသံုးျပဳကာ စားၾကြင္း Z mod 9 ကုိရွာျခင္းသည္ တခ်ိန္ခ်ိန္တြင္ စုဆံု (converge) မည္မွာ မုခ်ျဖစ္ေၾကာင္း သိႏုိင္သည္။

သုိ႕ရာတြင္ မွီခ်က္ h= f ပင္ ျဖစ္သျဖင့္ f(Z) = Z mod 9 ျဖစ္ပါသည္။