ဥာဏ္စမ္းပေဟဠိမ်ားကုိ ကြန္ပ်ဴတာ အသံုးျပဳ ေျဖရွင္းျခင္း

သခ်ၤာဥာဏ္အေပၚတြင္ အေျခခံေသာ ဥာဏ္စမ္းပေဟဠိ၊ စကားအသြားအလာႏွင့္ ဘာသာစကားလွည့္ကြက္အေပၚတြင္ အေျခခံေသာ ဥာဏ္စမ္းပေဟဠိႏွင့္ အၾကားအျမင္ ဗဟုသုတ အေပၚတြင္ အေျခခံသည့္ ဥာဏ္စမ္းပေဟဠိစသည္ျဖင့္ ဥာဏ္စမ္းပေဟဠိ အမ်ိဳးမ်ိဳး ရွိရာ အခ်ိဳ႕ေသာ ပေဟဠိမ်ားသည္ ထည့္သြင္း စဥ္းစားရမည့္ ျဖစ္ႏုိင္ေသာ အေျဖ အေရအတြက္ အတုိင္းအဆမရွိ မ်ားျပားမႈအေပၚတြင္ အေျခခံေလသည္။ ေရွးက လူအားျဖင့္သာ ဥာဏ္စမ္းပေဟဠိမ်ားကို အေျဖထုတ္ခဲ့ၾကရာတြင္ ျဖစ္ႏုိင္ေသာ အေျဖ အလြန္မ်ားျပားေသာ ပေဟဠိမ်ားမွာ အေျဖကုိ ႀကိဳတင္ မသိသူ ေျဖဆုိသူတုိ႕ လက္ေျမွာက္အရႈံးေပးရသည္သာ မ်ားေသာ္လည္း ယေန႕ကြန္ပ်ဴတာေခတ္တြင္မူ ၄င္းတုိ႕ကုိ အလြယ္တကူ အေျဖထုတ္ႏုိင္ၿပီ ျဖစ္သည္။ ယခုေဆာင္းပါးတြင္ ၄င္းပေဟဠိ ၂ ပုဒ္ကုိ ကြန္ပ်ဴတာ အသံုးျပဳ ေျဖရွင္းပံုကို ေဖာ္ျပမည္ျဖစ္သည္။

ပထမ ပုစၧာမွာ ဤသုိ႕ျဖစ္သည္။ လယ္သမားတစ္ေယာက္သည္ သူ၏ၿခံတြင္ ေမြးျမဴရန္အတြက္ ႏြား၊ ၀က္ႏွင့္ ၾကက္ စုစုေပါင္း အေကာင္ ၁၀၀ ၀ယ္လုိသည္။ ပုိက္ဆံလဲ ၁၀၀ က်ပ္သာရွိသည္။ ၃ မ်ိဳးလံုးလဲ ေမြးလုိေသးသည္။ ႏြားတစ္ေကာင္ ၁၀ က်ပ္၊ ၀က္တစ္ေကာင္ ၃ က်ပ္ႏွင့္ ၾကက္တစ္ေကာင္ ၅ မူး (၀.၅၀ က်ပ္) ျဖစ္ေသာ္ အေကာင္ ၁၀၀ ရေအာင္ ေငြ ၁၀၀ ႏွင့္ ဘယ္လုိ ၀ယ္မည္နည္း။ တနည္းအားျဖင့္ မသိကိန္း ၃ လံုးပါ၊ တၿပိဳင္နက္ ညီမွ်ျခင္း ၂ ေၾကာင္း ပုစၧာျဖစ္သည္။ သီ၀ရီအရ အေျဖ မရွိ၊ တစ္ခုတည္းသာ၊ အမ်ားအျပား ရွိႏုိင္ေသာ ပုစၧာအမ်ိဳးအစားလဲ ျဖစ္သည္။ တၿပိဳင္နက္ ညီမွ်ျခင္း အမ်ားအျပားပါ တၿပိဳင္နက္ ညီမွ်ျခင္း စနစ္ (System of Linear Equations) တစ္ခုကုိ မက္ထရစ္ ညီမွ်ျခင္း တစ္ေၾကာင္းျဖင့္ ေဖၚျပႏုိင္ရာ လွန္မက္ထရစ္ေယာင္ (Pseudo Inverse) ကုိအသံုးျပဳၿပီး ျဖစ္ႏုိင္သည့္ အေျဖမ်ားကုိ အလြယ္တကူ တြက္ထုတ္ႏုိင္ပါသည္။

၄င္း သခ်ၤာနည္း၏ အားနည္းခ်က္မွာ ၄င္းနည္းစနစ္သည္ ကိန္းစစ္ ေျမွာက္ေဖာ္ကိန္း (Real Number Coefficients) မ်ားအတြက္ နည္းစနစ္ ျဖစ္ေနသျဖင့္ ကိန္းစစ္ အေျဖတြဲ အမ်ားအျပား ထြက္လာႏုိင္ျခင္းပင္ ျဖစ္သည္။ (Matlab မရွိသျဖင့္ စာေရးသူ မစမ္းၾကည့္ပါ။) ေမြးရန္ ၀ယ္ေသာ ႏြား၊ ၀က္၊ ၾကက္တုိ႕ကုိ တ၀က္၊ တစိတ္ စသျဖင့္ ၀ယ္မရႏိုင္ပါ (တ၀က္၀က္ရင္ ေသကုန္မွာေပါ့)။ တနည္းအားျဖင့္ အေျဖသည္ အေပါင္း ကိန္းျပည့္ ၃ ခု ျဖစ္ရမည္။ ေပါင္းလွ်င္ ၁၀၀ ရေသာ အေပါင္းကိန္းျပည့္ မ်ားစြာရွိရာ ကြန္ပ်ဴတာ အကူအညီမယူေသာ သခ်ၤာသီးသန္႕သမားတုိ႕အတြက္ ခက္ခဲေသာ ပုစၧာျဖစ္သည္။ ကြန္ပ်ဴတာ ပညာရွင္ တစ္ဦးသည္ ဤပုစၧာကို မ်က္ကန္းနည္း (Brute Force Method) အသံုးျပဳျခင္းျဖင့္ အလြယ္တကူ ေျဖရွင္းႏုိင္သည္။ ႏြား အေရအတြက္ အမ်ိဳးမ်ိဳး၊ ၀က္အေရအတြက္ အမ်ိဳးမ်ိဳးႏွင့္ ၾကက္အေရအတြက္ အမ်ိဳးမ်ိဳးတုိ႕အတြက္ အစီအစဥ္ငယ္တစ္ခုကုိ လွ်င္ျမန္စြာေရးသားၿပီး ၄င္းတို႕ ေပါင္းလဒ္၊ ၄င္းတုိ႕၏ က်သင့္ေငြ တုိ႕ကို တြက္ခ်က္ကာ ႏွစ္ခုလံုး ၁၀၀ ျဖစ္ေသာ အေျဖကုိ ထုတ္ေပးရံုသာျဖစ္သည္။ (အေျဖမွာ ႏြား ၅၊ ၀က္ ၁၊ ၾကက္ ၉၄ ျဖစ္သည္။)

မွတ္ခ်က္ ။ ။ ယခု ပုစၧာသာလွ်င္ လြယ္ကူျခင္း ျဖစ္သည္။ ကိန္းျပည့္ မသိကိန္း အမ်ားအျပားႏွင့္ ညီမွ်ျခင္း အေရအတြက္ အနည္းငယ္ (ညီမွ်ျခင္း အေရအတြက္က မသိကိန္းအေရအတြက္ထက္ ပိုနည္းေနေသာ) ပုစၧာပံုစံကြဲတစ္ခုကုိ စစ္ဆင္ေရး သုေတသန (Operation Research) ဘာသာရပ္တြင္ Integer Linear Programming (ILP) အမည္ႏွင့္ေတြ႕ရၿပီး ခက္ခဲေသာ ပုစၧာျဖစ္သည္။

ဒုတိယ ပုစၧာတြင္မူကား မ်က္ကန္းနည္း အသံုးျပဳရန္ အဆင္မေျပေတာ့ေပ။ ပုစၧာမွာ ဤသို႕ျဖစ္သည္။ ၁ မွ ၉ အထိ ဂဏန္း ၉ လံုး (တစ္လံုးကုိ တစ္ႀကိမ္စီသာပါ၀င္ေသာ) သန္းရာဂဏန္းရွိ ကိန္းတစ္လံုးသည္ ၉ ႏွင့္ စားလုိ႕ ျပတ္သည္။ အဆုိပါ ကိန္းမွ ခုဂဏန္းကုိ ဖယ္ထုတ္လုိက္ေသာ ဂဏန္း ၈ လံုးပါ ကိန္း (၁၀ ႏွင့္စားလွ်င္ ရေသာ ရလဒ္) သည္ ၈ ႏွင့္ စားလုိ႕ ျပတ္သည္။ တဖန္ ထုိကိန္းမွ ခုဂဏန္းကုိ ဖယ္ထုတ္ပါက က်န္ေသာ ကိန္းသည္ ၇ ႏွင့္ စားလုိ႕ ျပတ္သည္။ ေနာက္ဆံုး ၁ လံုးသာ က်န္သည္အထိ ဤနည္းအတုိင္း တစ္လံုးဖယ္တုိင္း က်န္ေသာ ဂဏန္းအေရအတြက္ႏွင့္ စားလုိ႕ ျပတ္ရသည္။ တနည္းအားျဖင့္ ဘယ္ဘက္ဆံုး x လံုးကုိ x ႏွင့္စား၍ ျပတ္သည္။ ထုိကိန္းကို ရွာပါ။ မ်က္ကန္းနည္းႏွင့္ တြက္လွ်င္ သန္းတစ္ရာ (၁၀၀ ၀၀၀ ၀၀၀) မွ ကုိးရာ ကုိးဆယ့္ ကုိးသန္း ကုိးသိန္း ကုိးေသာင္း ကုိးေထာင္ ကုိးရာ ကုိးဆယ့္ ကုိး (၉၉၉ ၉၉၉ ၉၉၉) အထိ ကိန္းေပါင္း သန္း ၉၀၀ နီးပါးကုိ ၁ မွ ၉ အထိ ကိန္းမ်ားျဖင့္ စားလုိ႕ ျပတ္မျပတ္ တြက္ထုတ္ (ဂဏန္းမ်ား ထပ္ေနမေန စစ္) ရမည္ ျဖစ္သျဖင့္ သိပ္အဆင္မေျပေသာ နည္းျဖစ္သည္။ (၁ မွ ၉ အထိ စားျပတ္မျပတ္ တစ္ခါတြက္လွ်င္ ၁ စကၠန္႕၏ တစ္သန္းပံု တစ္ပံုသာ ၾကာသည္ထား … အနည္းဆံုး စကၠန္႕ ၉၀၀ = ၁၅ မိနစ္မွ် ၾကာသြားႏုိင္သည္။ မစမ္းၾကည့္ပါ။)

အမွန္မွာ ၄င္းသည္ ၁ မွ ၉ အထိ ဂဏန္း ၉ လံုးကို ၉ ေနရာတြင္ စီခုိင္းေသာ (စီၿပီးလွ်င္ စစ္ခုိင္းေသာ) အစီ ပုစၧာ (Permutation Problem) သာျဖစ္သည္။ အစီ ပံုေသနည္းအရ ျဖစ္ႏုိင္သည့္ ကိန္းေပါင္း ၉ x ၈ x … x ၁ = ၃၆၂၈၈၀ သာ ရွိသည္။ အကယ္၍ ကုန္က်စရိတ္နည္းေသာ အစီ နည္းလမ္းစဥ္သာ ရွိခဲ့လွ်င္ ပြဲျပတ္ၿပီ ျဖစ္သည္။ (ကံဆုိးသည္မွာ အထူးတည္ေဆာက္ထားေသာ ကြန္ပ်ဴတာမ်ားမွ အပ မရွိ။) သုိ႕ရာတြင္ ၁၅ မိနစ္ထက္ေတာ့ ျမန္မည္မွာ ေသခ်ာပါသည္။ (မစမ္းၾကည့္ပါ။) ၂ နည္းစလံုးသည္ လူအားျဖင့္ တြက္ထုတ္ရန္ မျဖစ္ႏုိင္သည္မွာကား ေသခ်ာေပသည္။

အဆုိပါ ပုစၧာကုိ ျပင္ပ သခ်ၤာဗဟုသုတမ်ားျဖင့္ အားျဖည့္ကာ ပုိမုိေကာင္းမြန္ေသာ အစီအစဥ္ တစ္ရပ္ကုိ ဆြဲသားႏုိင္ပါသည္။ အသံုးျပဳေသာ သခ်ၤာနည္းစနစ္မွာ ကိန္းတစ္လံုးကုိ ၁ မွ ၉ အထိ ဂဏန္းမ်ားႏွင့္ စားလွ်င္ ရမည့္ စားၾကြင္းကုိ ရွာေသာ နည္းလမ္းမ်ားျဖစ္သည္။ အစီအစဥ္ မဆြဲမီ ျဖစ္ႏုိင္ေသာ ကိန္းမ်ားကို ေအာက္ပါအတုိင္း ဆင္ျခင္သည္။ (x ေနရာ = အေျဖကိန္းကုိ ဘယ္ဘက္မွ ေရတြက္လွ်င္ x ေနရာ)

• ကိန္းတစ္လံုးကုိ ၉ ႏွင့္ စားျပတ္၊ မျပတ္ သိရန္အတြက္ အဆုိပါကိန္းတြင္ ပါ၀င္ေသာ ဂဏန္းမ်ား၏ မူလတန္ဖုိးမ်ားေပါင္းလဒ္ကုိ ၉ ျဖင့္ စားၾကည့္ႏုိင္သည္ (သုိ႕မဟုတ္ ေပါင္းေနရင္း ၉ ျပည့္လွ်င္ ဖယ္ဖယ္ထားခဲ့ႏုိင္သည္။) ပါ၀င္ရမည့္ ဂဏန္းမ်ားမွာ ၁ မွ ၉ အထိ ဂဏန္း ၉ လံုးျဖစ္သည္။ ၁ + ၈ = ၂ + ၇ = ၃ + ၆ = ၄+ ၅ = ၉ ျဖစ္ရာ … ၁ မွ ၉ အထိ ဂဏန္းအားလံုး (တစ္လံုးကုိ တစ္ႀကိမ္စီသာ ပါ၀င္ေသာ) ကိန္းသည္ ၉ ႏွင့္ အလိုအေလ်ာက္ စားလုိ႕ ျပတ္သည္။ ထည့္သြင္းစဥ္းစားရန္မလုိ။ ၁ မွ ၉ အထိ ဂဏန္း ၉ လံုးကုိ ေရွ႕ ၈ ေနရာတြင္သာ ေနရာခ် စမ္းသပ္ၾကည့္ၿပီး ေျပလည္ပါက က်န္ခဲ့ေသာ တစ္လံုးျဖင့္ ၉ ေနရာကို အလြယ္တကူ ျဖည့္ႏုိင္သည္။
  
• ကိန္းတစ္လံုးကုိ ၂ (၄ ႏွင့္ ၈) တုိ႕ႏွင့္ စားျပတ္၊ မျပတ္ သိႏုိင္ရန္အတြက္ ညာဘက္ဆံုး ၁ လံုး (၂ လံုးႏွင့္ ၃ လံုး) သည္ ၂ (၄ ႏွင့္ ၈) ျဖင့္ စား၍ ျပတ္ရသည္။ ထုိ႕ေၾကာင့္ ၂ ေနရာတြင္ စံုကိန္းတစ္လံုး (၃၄ ေနရာတြင္ ၄ ႏွင့္စားျပတ္ေသာ ဆယ္ဂဏန္း တစ္လံုး၊ ၆၇၈ ေနရာတြင္ ၈ ႏွင့္ စားျပတ္ေသာ ရာဂဏန္း တစ္လံုး) ကုိ ျဖည့္သြင္းရမည္။
  
• ကိန္းတစ္လံုးကုိ ၃ ႏွင့္ စားျပတ္၊ မျပတ္ သိႏုိင္ရန္အတြက္ အဆုိပါကိန္းတြင္ ပါ၀င္ေသာ ဂဏန္းမ်ား၏ မူလတန္ဖုိးမ်ား ေပါင္းလဒ္ကုိ ၃ ျဖင့္ စားၾကည့္ႏိုင္သည္။ ၄င္းကုိ အေျခခံ၍ ၂ ေနရာရွိ ဂဏန္းႏွင့္ ၃ ေနရာရွိဂဏန္းတုိ႕ကို အေျခခံ၍ ၁ ေနရာရွိ ဂဏန္းကို တြက္ခ်က္ႏုိင္သည္။၂ ေနရာတြင္ စံုကိန္းတစ္လံုး ေသခ်ာေပါက္ရွိၿပီး ၃၄ ေနရာတြင္ ၄ ႏွင့္ စားျပတ္ေသာ ဆယ္ဂဏန္း တစ္လံုး ေသခ်ာေပါက္ ရွိမည္ျဖစ္သျဖင့္ ၁၂၃၄ ေနရာရွိ ဂဏန္းမ်ား ျဖစ္ႏုိင္ေျခသည္ ၉ x ၈ x ၇ x ၆ =  ၃၀၂၄ မွ ၃ × သုညမဟုတ္ေသာ ၁၀ ေအာက္ စံုကိန္း (၂၊ ၄၊ ၆၊ ၈) အေရအတြက္ x ၄ ႏွင့္စားျပတ္ေသာ ဆယ္ဂဏန္း အေရအတြက္ (၃ × ၄ x ၂၂ = ၂၆၄) သုိ႕က်ဆင္းသြားမည္။ (စာေရးသူ စမ္းသပ္ရာတြင္ ဤနည္းကို မသံုးပဲ ကိန္း ၉၉၀ လံုးကို ၃ ႏွင့္စားျပတ္၊ မျပတ္ စစ္ထားပါသည္။)
  
• ကိန္းတစ္လံုးကုိ ၅ ႏွင့္ စားျပတ္ရန္ အဆုိပါကိန္းသည္ ၀ (သုည) သုိ႕မဟုတ္ ၅ ႏွင့္ ဆံုးရမည္ျဖစ္သည္။ ၀ (သုည) ကုိ ပုစၧာအရ သံုးခြင့္မရွိသျဖင့္ ၅ ေနရာတြင္ ရွိမည့္ ဂဏန္းမွာ ၅ သာလွ်င္ ျဖစ္သည္။
  

အထက္ေဖာ္ျပပါ ထုိးထြင္းသိမ်ားျဖင့္ အစီအစဥ္တစ္ရပ္ကုိ အျမန္ ဆြဲသား တြက္ခ်က္ခဲ့ရာ ဂဏန္းတြဲ အေရအတြက္ ၂၄၁၉၂၀ ကုိသာ စိစစ္ခဲ့ၿပီး (၃၆၂၈၈၀ ႏွင့္ႏိႈင္းစာလွ်င္ ၃ ပံု ၂ ပံုခန္႕) ၆ ေနရာ၊ ၇ ေနရာတုိ႕တြင္ ၀ (သုည) ပါ၀င္ႏုိင္ၿပီး ဂဏန္း တစ္မ်ိဳးစီကုိ တစ္ႀကိမ္ထက္ ပိုမုိပါ၀င္ႏုိင္ေသာ္လည္း ဘယ္ဘက္ဆံုး x လံုးကုိ x ႏွင့္စား၍ ျပတ္ေသာ ကိန္း ၄၆၃ လံုးကုိ ရရွိခဲ့သည္။ ၄င္းတုိ႕ကုိ ပါ၀င္ေသာ ဂဏန္းမ်ား ၀ (သုည) ျဖစ္၊ မျဖစ္ႏွင့္ ထပ္၊ မထပ္ စစ္ေဆး စစ္ထုတ္ျခင္းျဖင့္ အေျဖကို ရေလေတာ့သည္။ (အေျဖမွာ ၃၈၁ ၆၅၄ ၇၂၉ ျဖစ္သည္။)

ေရႊပြဲလာအေပါင္း ျဖစ္ႏုိင္ေျခ ေထာင္ေသာင္းခ်ီသည့္ ပုစၧာမ်ားကို အလြယ္တကူ အေျဖထုတ္ႏုိင္ၾကပါေစ။

စာေရးသူ စမ္းသပ္ ေရးသားထားေသာ အစီအစဥ္မ်ားကုိ ရယူရန္

အေျဖမွန္ အျမန္ေရြး၊ ပညာသင္ဆု ဘယ္မေ၀း ၂

ကိန္းျပည့္ X ႏွင့္ Y တုိ႕၏ ေျမွာက္လဒ္ XY တြင္ပါ၀င္ေသာ ဂဏန္းမ်ား၏ ပကတိ တန္ဖုိးမ်ားကို ဂဏန္း တစ္လံုးတည္း ရသည္အထိ ေပါင္းလုိက္ေသာ ေပါင္းလဒ္သည္ ကိန္းျပည့္ X တြင္္ ပါ၀င္ေသာ ဂဏန္းမ်ား၏ ပကတိ တန္ဖုိးမ်ားကို ဂဏန္း တစ္လံုးတည္း ရသည္အထိ ေပါင္းလုိက္ေသာ ေပါင္းလဒ္ႏွင့္ က်န္ကိန္းျပည့္ Y တြင္္ ပါ၀င္ေသာ ဂဏန္းမ်ား၏ ပကတိ တန္ဖုိးမ်ားကို ဂဏန္း တစ္လံုးတည္း ရသည္အထိ ေပါင္းလုိက္ေသာ ေပါင္းလဒ္တုိ႕ ေျမွာက္လဒ္ႏွင့္ တူညီေၾကာင္း အေျဖမွန္ အျမန္ေရြး ပညာသင္ဆု ဘယ္မေ၀း ၁ တြင္ ေဖာ္ျပခဲ့ၿပီး ျဖစ္သည္။ ယခု ၄င္း ဂုဏ္သတၱိ မွန္ကန္ေၾကာင္း သက္ေသျပမည္ ျဖစ္သည္။

သက္ေသျပရန္။ ေပးထားေသာ ကိန္းျပည့္တစ္ခု Z = z₀ × 10⁰ + z₁ × 10¹ + z₂ × 10² + … + z_n × 10ⁿ အတြက္

မွီခ်က္ f(Z) = f(z₀ + z₁ + z₂ + … + z_n) if z₀ + z₁ + z₂ + … + z_n > 9;

f(Z) = z₀ + z₁ + z₂ + … + z_n otherwise ျဖစ္ပါေစ။ f(XY) = f(f(X).f(Y)) ျဖစ္သည္။

သက္ေသျပခ်က္။

အစားသီ၀ရီ (Theory of Division a.k.a Procedure of Division) အရ မည္သည့္ကိန္းျပည့္ Z ကုိမဆုိ Z = pq + r ပံုစံနဲ႕ ေဖၚျပႏုိင္ပါတယ္ (Z၊ p၊ q ႏွင့္ r တုိ႕သည္ ကိန္းျပည့္မ်ားျဖစ္၍ r သည္ q ထက္အၿမဲငယ္သည္)။ အဲဒီမွာ q = 9 လုိ႕ ထားလုိက္ရင္ မည္သည့္ ကိန္းျပည့္ Z ကုိမဆုိ Z = 9p + r အျဖစ္ ေရးႏုိင္ပါတယ္။ (အဲဒီ p နဲ႕ r ဟာ Z ကုိ q နဲ႕စားလုိ႕ရတဲ့ စားလဒ္နဲ႕ စားၾကြင္းျဖစ္ၿပီး r သည္ 9 ထက္အၿမဲငယ္ေၾကာင္း သတိျပဳပါ။) အဲဒီေတာ့ ကိန္းျပည့္ Z = 9p + r တုိင္းဟာ 9 နဲ႕ စားရင္ p ရၿပီး r ၾကြင္းပါတယ္။

ကိန္းျပည့္ Z မွာပါတဲ့ ဂဏန္းေတြရဲ႕ မူလတန္ဖုိးေတြအားလံုး ကိန္းတစ္လံုးထဲျဖစ္ေအာင္ ေပါင္းတဲ့ ရလဒ္ f(Z) ဟာ အဲဒီကိန္းျပည့္ Z ကုိ 9 နဲ႕စားလုိ႕ရတဲ့ စားၾကြင္း (Z mod 9) နဲ႕ တူပါတယ္ (9 ခုၾကြင္း သက္ေသျပခ်က္တြင္ သက္ေသျပၿပီး)။ ဥပမာ၊ 834 ကုိ ေပါင္းၾကည့္မယ္ဆုိရင္ 8 + 3 + 4 = 15; 1 + 5 = 6 ရၿပီးေတာ့ 834 ကုိ 9 နဲ႕ စားမယ္ဆုိရင္ (စားလဒ္က 92) စားၾကြင္းက 6 ရပါမယ္။ ဒါေၾကာင့္ f(Z) = Z mod 9.

X = 9a + b ၊ Y = 9c + d ျဖစ္ပါေစ။

XY = (9a + b)(9c + d)

ညီမွ်ျခင္း၏ လက္ယာဘက္ျခမ္းမွာ …

f(XY) = f((9a + b)(9c + d))

= f(81ac + 9ad + 9bc + bd)

= (81ac + 9ad + 9bc + bd) mod 9

သုိ႕ေသာ္ 81ac mod 9 = 0; 9ad mod 9 = 0; 9bc mod 9 = 0 ျဖစ္သျဖင့္

f(XY) = (81ac + 9ad + 9bc + bd) mod 9 = bd mod 9

ညီမွ်ျခင္း၏ လက္၀ဲဘက္ျခမ္းမွာ …

f(f(X).f(Y)) = f(f(9a + b).f(9c + d))

= f(bd) = bd mod 9

ညီမွ်ျခင္း၏ လက္၀ဲဘက္ျခမ္းႏွင့္ လက္ယာဘက္ျခမ္းတုိ႕ တူညီၾကသျဖင့္ f(XY) = f(f(X).f(Y)) ျဖစ္ပါသည္။

အေျဖမွန္ အျမန္ေရြး၊ ပညာသင္ဆု ဘယ္မေ၀း ၁

လာၿပီ။ ေမးခြန္း ...

၅၆ ၇၈၃၉ × ၈၃ ၆၄၈၃ =

(က) ၄၃၈၈ ၅၄၂၀ ၉၈၄၇

(ခ) ၅၀၇၈ ၉၈၇၃ ၄၉၈၃

(ဂ) ၄၇၄၉ ၈၇၆၇ ၀၂၃၇

(ဃ) ၃၇၈၂ ၃၉၉၉ ၈၇၂၃

ႏုိင္ငံရပ္ျခား တကၠသိုလ္မ်ားတြင္ တက္ေရာက္ ပညာသင္ၾကားရန္ႏွင့္ ပညာသင္ဆု ေလွ်ာက္ထားရန္အတြက္ လုိအပ္တတ္ေသာ (SAT ကဲ့သုိ႕ေသာ စာေမးပြဲမ်ား၏) သခ်ၤာစာေမးပြဲ ေမးခြန္းလႊာမ်ားတြင္ ဤကဲ့သုိ႕ေမးခြန္းမ်ိဳး ပါေလ့ရွိသည္။ ဂဏန္းတြက္စက္ အသံုးျပဳခြင့္ေပးေသာ္လည္း အခ်ိန္ အကန္႕အသတ္ရွိတတ္ေသာ ထုိစာေမးပြဲမ်ားတြင္ ပုစၦာတစ္ပုဒ္အတြက္ ပ်မ္းမွ် မိနစ္၀က္ခန္႕သာ အခ်ိန္ရရာ ယခုကဲ့သုိ႕ေသာ ပုစၦာမ်ိဳးကို ဂဏန္းတြက္စက္ျဖင့္ အေျဖရွာပါက အခ်ိန္မမီပဲ ျဖစ္တတ္ေလသည္။

အမွန္မွာ ဤကဲ့သုိ႕ေသာ ပုစၦာမ်ိဳးကုိ ေျဖဆုိရန္အတြက္ အေျဖရေအာင္ တြက္ထုတ္ရန္ အေရးမႀကီးပါ။ ေပးထားေသာ အေျဖ ၄ ခုအနက္ အေျဖမွန္ ၁ ခုကုိသာ ေရြးထုတ္ႏုိင္ရန္ အေရးႀကီးသျဖင့္ ျဖတ္လမ္းနည္းမ်ားျဖင့္ ဤပုစၦာကုိ ေျဖရွင္းႏုိင္ရန္ ႀကိဳးစားႏုိင္ပါသည္။

ျဖတ္လမ္းနည္း (၁) အနီးဆံုးယူၿပီး တြက္ရန္

၅၆ ၇၈၃၉ ကုိ ၅၀ ၀၀၀၀၊ ၈၃ ၆၄၈၃ ကုိ ၈၀ ၀၀၀၀ ဟု အနီးဆံုး ယူလုိက္မည္။ ၄င္းတုိ႕ ၂ လံုးမွာ ေနာက္တြင္ သုညမ်ားပါသျဖင့္ ေျမွာက္ရလြယ္ပါသည္။ ၅ ကုိ ၈ ႏွင့္ ေျမွာက္လုိက္ရာ ၄၀ ဟု ထြက္လာသည္။ ၅၀ ၀၀၀၀ တြင္ သုည ၅ လံုး၊ ၈၀ ၀၀၀၀ တြင္ သုည ၅ လံုး၊ ေပါင္း ၁၀ လံုးပါသျဖင့္ အေျဖမွန္သည္ ၄၀၀၀ ၀၀၀၀ ၀၀၀၀ (၄၀ ေနာက္တြင္ သုည ၁၀ လံုးျဖည့္ထားေသာ ဂဏန္း) ထက္မနည္းေၾကာင္း ခန္႕မွန္းႏုိင္သည္။ သုိ႕ျဖစ္၍ (က)၊ (ခ) ႏွင့္ (ဂ) တစ္ခုခုသည္ အေျဖမွန္ျဖစ္သည္။ မွားလွ်င္ အမွတ္ႏႈတ္တတ္ေသာ စာေမးပြဲျဖစ္ပါက (SAT တြင္ Minus System ပါမပါ မေသခ်ာပါ) နံၾကားေထာက္ျဖည့္လွ်င္ ရွိသမွ် အမွတ္ကုန္သြားႏုိင္ရာ သိပ္မနိပ္ေသာ နည္းလမ္းျဖစ္သည္။

ဤေနရာတြင္ တစ္ခု သတိျပဳရန္မွာ အနီးဆံုးယူတာ ပုိမုိတိက်လွ်င္ အေျဖမွားမ်ားကုိ ဖယ္ထုတ္ႏိုင္စြမ္း ပုိေကာင္းလာမည္ျဖစ္သည္။ အထက္ပါ ဥပမာတြင္ ၅၆ ၇၈၃၉ ကုိ ၅၆ ၀၀၀၀၊ ၈၃ ၆၄၈၃ ကုိ ၈၃ ၀၀၀၀ ဟု အနီးဆံုး ယူလုိက္မည္ဆုိပါက အေျဖမွန္သည္ ၄၆၄၈ ၀၀၀၀ ၀၀၀၀ ထက္မနည္းဟု ခန္႕မွန္းႏုိင္မည္ျဖစ္ၿပီး ျဖစ္ႏုိင္သည့္ အေျဖမွန္ ၂ ခု (ခ ႏွင့္ ဂ) သာ က်န္ေနမည္ျဖစ္သည္။ တြက္ခ်က္မႈအတြက္ ၾကာျမင့္ခ်ိန္ အနည္းငယ္ တုိးလာေသာ္လည္း ရမ္းေျဖလုိက္ပါက ျဖစ္တန္စြမ္းသီ၀ရီ အရၾကည့္လွ်င္ မေျဖတတ္သျဖင့္ ဘဲဥကုိက္ရန္ ေသခ်ာေနေသာ ပုစၦာ ၂ ပုဒ္တုိင္းတြင္ ၁ ပုဒ္ မွန္မွာ ေသခ်ာသျဖင့္ (မွားလွ်င္ ႏႈတ္ေသာအမွတ္သည္ မွန္လွ်င္ေပးေသာ အမွတ္ထက္ နည္းေနပါက) သိပ္မဆုိးလွေသာ နည္းလမ္းျဖစ္သည္။

ျဖတ္လမ္းနည္း (၂) ေနရာလုိက္တန္ဖုိး၏ ဂုဏ္သတၱိကုိ အသံုးခ်ရန္

ဒုတိယနည္းလမ္းမွာ ေနရာလုိက္တန္ဖုိး၏ ဂုဏ္သတၱိကုိ အသံုးခ်ရန္ျဖစ္သည္။ မည္မွ်ႀကီးေသာ ကိန္းမ်ားကို ေျမွာက္ေျမွာက္ ရလဒ္၏ ခုေနရာရွိ ဂဏန္းမွာ မူလကိန္း ၂ လံုး၏ ခုေနရာရွိ ဂဏန္း ၂ လံုး ေျမွာက္လဒ္သာလွ်င္ ျဖစ္သည္။ (ဆယ္ဂဏန္းမွစ၍ ဂဏန္းမ်ား ခ်ေပါင္းရန္ လုိပါမည္။) ယခု ဥပမာတြင္ ၅၆ ၇၈၃၉ ၏ ခုေနရာရွိ ဂဏန္းမွာ ၉၊ ၈၃ ၆၄၈၃ ၏ ခုေနရာရွိ ဂဏန္းမွာ ၃ ျဖစ္ရာ ၄င္းတုိ႕ ေျမွာက္လဒ္၏ ခုေနရာရွိ ဂဏန္းမွာ (၉ × ၃ = ၂၇ ျဖစ္သျဖင့္) ၇ သာလွ်င္ ျဖစ္ရမည္၊ တနည္းအားျဖင့္ အေျဖမွန္သည္ ၇ ႏွင့္ ဆံုးရမည္။ ၇ ႏွင့္ ဆံုးေသာ အေျဖမွာ (က) ႏွင့္ (ဂ) သာရွိရာ အထက္ပါ နည္းလမ္းႏွင့္ ပူးတြဲစဥ္းစားပါက အေျဖမွန္သည္ (ဂ) ဟု ထင္ထင္ရွားရွား ထြက္လာေတာ့သည္။

ျဖတ္လမ္းနည္း (၃) အစားသီ၀ရီႏွင့္ ၉ ၾကြင္းရွာနည္းကုိ ေပါင္းစပ္ အသံုးျပဳျခင္း

အင္မတန္မွ ရက္စက္တတ္တဲ့ ေမးခြန္းထုတ္သူဟာ အေျဖအားလံုးကုိ ၄၆၄၈ နဲ႕စၿပီး ၇ နဲ႕ အဆံုးသတ္ထားပါလိမ့္မယ္။ ဘာလုိ႕လဲဆုိေတာ့ ဒီေမးခြန္းရဲ႕ အဓိက ဦးတည္ခ်က္ဟာ ဂဏန္းေျမွာက္တတ္/မတတ္ကုိ စစ္ေဆးဖုိ႕ မဟုတ္ပဲ ေျဖဆုိသူဟာ သခ်ၤာ ဂုဏ္သတၱိမ်ားကို က်င္က်င္လည္လည္ လွည့္ပတ္ အသံုးျပဳႏုိင္ျခင္း ရွိ/မရွိ စစ္ေဆးဖုိ႕ ျဖစ္ေနတာေၾကာင့္ပါပဲ။ ဒီေနရာမွာ ေနာက္တမ်ိဳး စမ္းၾကည့္သင့္တာကေတာ့ အစားသီ၀ရီနဲ႕ ၉ ၾကြင္းရွာနည္းတုိ႕ပဲ ျဖစ္ပါတယ္။

နာမည္ကုိ ဖတ္ၿပီး လန္႕မသြားပါနဲ႕ေလ။ နည္းလမ္းက လြယ္လြယ္ေလးပါ။

ပထမဆံုး ၅၆ ၇၈၃၉ နဲ႕ ၈၃ ၆၄၈၃ တုိ႕ကုိ တစ္လံုးတည္းျဖစ္ေအာင္ ေပါင္းပါ။ (ေနာက္တနည္း - ၉ ျပည့္ေအာင္ တြဲတြဲၿပီး က်န္တာေလးေတြ ေပါင္းလဲ ရတယ္။)

၅ + ၆ + ၇ + ၈ + ၃ + ၉ = ၃၈

၃ + ၈ = ၁၁

၁ + ၁ = ၂

၈ + ၃ + ၆ + ၄ + ၈ + ၃ = ၃၂

၃ + ၂ = ၅

ေနာက္ၿပီး အဲဒီ ေပါင္းလဒ္ ၂ ခုကို ေျမွာက္ပါ

၂ × ၅ = ၁၀

ရလဒ္ကုိ တစ္လံုးထည္းျဖစ္ေအာင္ ထပ္ေပါင္းပါဦး။

၁ + ၀ = ၁

အေျဖေတြကုိလဲ တစ္လံုးတည္းျဖစ္ေအာင္ ေပါင္းၾကည့္ပါ။

(က) ၄၃၈၈ ၅၄၂၀ ၉၈၄၇ ကုိ ေပါင္းေတာ့ ၈ ရတယ္။

(ခ) ၅၀၇၈ ၉၈၇၃ ၄၉၈၃ ကုိ ေပါင္းေတာ့ ၈ ရတယ္။

(ဂ) ၄၇၄၉ ၈၇၆၇ ၀၂၃၇ ကုိ ေပါင္းေတာ့ ၁ ရတယ္။

(ဃ) ၃၇၈၂ ၃၉၉၉ ၈၇၂၃ ကုိ ေပါင္းေတာ့ ၇ ရတယ္။

ေစာေစာက ေျမွာက္ၿပီး ေပါင္းထားတဲ့ (၂ × ၅ = ၁၀၊ ၁ + ၀ = ၁) ၁ နဲ႕တူတဲ့ (ဂ) ကိုေရြးလုိက္ရံုပါပဲ။

နည္းလမ္းပဲ သိခ်င္သူမ်ား ဒီေနရာမွာတင္ ရပ္ႏုိင္ပါၿပီ။ သက္ေသျပခ်က္ကုိ သိခ်င္သူမ်ား၊ ဒီလုိ ေပါင္းလုိက္ ေျမွာက္လုိက္ရံုနဲ႕ အေျဖမွန္ တုိက္စစ္တာ အၿမဲမွန္ေနပါ့မလား၊ စာေမးပြဲေနာ္ ေပါ့ပ်က္ပ်က္ မလုပ္နဲ႕လုိ႕ ဆုိခ်င္သူမ်ား သက္ေသျပခ်က္ကုိ အေျဖမွန္ အျမန္ေရြး၊ ပညာသင္ဆု ဘယ္မေ၀း အပုိင္း ၂ တြင္ ဆက္ဖတ္ပါ။

9 ခုၾကြင္း သက္ေသျပခ်က္

ကိန္းျပည့္တစ္လံုး (ဥပမာ 837) ကုိ 9 ႏွင့္ စား၍ ျပတ္/မျပတ္ သိႏုိင္ရန္အတြက္ တကယ္ စားၾကည့္ရန္ မလုိအပ္ပဲ ၄င္း ကိန္းျပည့္တြင္ ပါ၀င္ေသာ ဂဏန္းမ်ား၏ ပကတိတန္ဖုိးမ်ား ေပါင္းလဒ္ကုိ 9 ႏွင့္ စားလုိ႕ ျပတ္/မျပတ္ စစ္ေဆးျခင္းျဖင့္ သိႏုိင္ေၾကာင္း (ဥပမာ 8 + 3 + 7 = 18 ျဖစ္ရာ 837 သည္ 9 ႏွင့္စား၍ ျပတ္သည္) အေျခခံပညာတန္းတြင္ သင္ၾကား သိရွိၿပီး ျဖစ္သည္။ သုိ႕ရာတြင္ ၄င္းသီ၀ရီ မွန္ကန္ေၾကာင္း သက္ေသျပခ်က္ကုိ လူအမ်ား သိရွိမႈ နည္းပါးသျဖင့္ ေရးသား တင္ျပအပ္ပါသည္။

သက္ေသျပရန္။

ေပးထားေသာ ကိန္းျပည့္တစ္ခု Z = z₀ × 10⁰ + z₁ × 10¹ + z₂ × 10² + … + z_n × 10ⁿ အတြက္

မွီခ်က္ f(Z) = f(z₀ + z₁ + z₂ + … + z_n) if z₀ + z₁ + z₂ + … + z_n > 9;

f(Z) = z₀ + z₁ + z₂ + … + z_n otherwise ျဖစ္ပါေစ။ Z mod 9 = f(Z) ျဖစ္ေၾကာင္း သက္ေသျပပါ။

သက္ေသျပခ်က္။

အစားသီ၀ရီ (Theory of Division a.k.a Procedure of Division) အရ မည္သည့္ကိန္းျပည့္ Z ကုိမဆုိ Z = pq + r ပံုစံျဖင့္ ေဖၚျပႏုိင္ပါသည္ (Z၊ p၊ q ႏွင့္ r တုိ႕သည္ ကိန္းျပည့္မ်ားျဖစ္၍ r သည္ q ထက္အၿမဲငယ္သည္)။ ဤေနရာတြင္ q = 9 ျဖစ္လွ်င္ မည္သည့္ကိန္းျပည့္ Z ကုိမဆုိ Z = 9p + r အျဖစ္ ေျပာင္းေရးႏုိင္သည္။ (၄င္း p နဲ႕ r တုိ႕သည္ Z ကုိ q ႏွင့္ စားလုိ႕ရသည့္ စားလဒ္နဲ႕ စားၾကြင္းျဖစ္ၿပီး r သည္ 9 ထက္ အၿမဲငယ္ေၾကာင္း သတိျပဳပါ။) ထုိ႕ေၾကာင့္ ကိန္းျပည့္ Z = 9p + r တုိင္းကုိ 9 ႏွင့္ စားလွ်င္ p ရၿပီး r ၾကြင္းသည္။

မည္သည့္ အေပါင္းကိန္းျပည့္ k အတြက္မဆုိ 10^k = 9 × 10⁰ + 9 × 10¹ + … + 9 * 10^k-1 + 1 ျဖစ္သည္။ 9 ကုိ ဘံုထုတ္လွ်င္ 10^k = 9(10⁰ + 10¹ + … + 10^k-1) + 1 ဟုရလာမည္။

မွီခ်က္ g(0) = 0; g(k) = 10⁰ + 10¹ + … + 10^k-1 ျဖစ္ပါေစ။ 10^k = 9g(k) + 1 ျဖစ္မည္။

Z = z₀ × 10⁰ + z₁ × 10¹ + z₂ × 10² + … + z_n × 10ⁿ

= z₀ (9g(0) + 1) + z₁ × (9g(1) + 1)
+ z₂ × (9g(2) + 1) + … + z_n × (9g(n) + 1)

= 9g(0)z₀ + z₀ + 9g(1)z₁ + z₁
+ 9g(2)z₂ + z₂ + … + 9g(n)z_n + z_n

= 9 (g(0)z₀ + 9g(1)z₁ + 9g(2)z₂ + … + 9g(n)z_n) + z₀ + z₁
+ z₂ + … + z_n

z' = z₀ + z₁
+ z₂ + … + z_n ျဖစ္ပါေစ။

ကိန္းျပည့္ Z ကုိ 9 ႏွင့္ စားလွ်င္ ရသည့္ စားၾကြင္းႏွင့္ z' ကုိ 9 ႏွင့္စားရင္ ရသည့္ စားၾကြင္းတုိ႕ အတူတူပဲ ျဖစ္ပါသည္။ တနည္းအားျဖင့္ z' သည္ 9 ထက္ငယ္ပါက Z ကုိ 9 ႏွင့္စားလွ်င္ ရတဲ့ စားၾကြင္း Z mod 9 = z' ျဖစ္ၿပီး z' သည္ 9 ထက္ မငယ္ရင္ေတာ့ Z mod 9 = z' mod 9 ျဖစ္သည္။ မည္သုိ႕ပင္ျဖစ္ေစ z' သည္ Z ထက္ ငယ္ကုိငယ္သည္။ အဘယ္ေၾကာင့္ဆုိေသာ္ ခုဂဏန္း n လံုးေပါင္းျခင္းသည္ 9n ထက္ ပုိမႀကီးႏုိင္ပဲ 9n သည္ 10n ထက္ ငယ္ကုိငယ္ေသာေၾကာင့္ (အေပါင္းကိန္းျပည့္ n တုိင္းအတြက္ 10n သည္ 10ⁿ ထက္မငယ္လွ်င္ပင္ တူေနသည္) ျဖစ္သည္။

ထုိ႕ေၾကာင့္ ကိန္းျပည့္ Z ကုိ 9 ျဖင့္စားလွ်င္ ရမည့္ စားၾကြင္း = Z mod 9 = h(Z) = z' if z' < 9; h(z') otherwise; ဟူ၍ တပတ္လည္ မွီခ်က္ recursive function hကုိ အသံုးျပဳကာ စားၾကြင္း Z mod 9 ကုိရွာျခင္းသည္ တခ်ိန္ခ်ိန္တြင္ စုဆံု (converge) မည္မွာ မုခ်ျဖစ္ေၾကာင္း သိႏုိင္သည္။

သုိ႕ရာတြင္ မွီခ်က္ h= f ပင္ ျဖစ္သျဖင့္ f(Z) = Z mod 9 ျဖစ္ပါသည္။

လကမၻာခရီးစဥ္ ႏွစ္ ၄၀ ျပည့္

လူသားတစ္ေယာက္ရဲ႕ ဤေျခလွမ္းငယ္တလွမ္းဟာ လူသားထုတရပ္လံုးရဲ႕ ခုန္ပ်ံတုိးတက္မႈတစ္ခုျဖစ္တယ္။ (Neil Armstrong).

လူသားေတြအေနနဲ႕ လကုိ ေအာင္ႏုိင္မွ စၾကာ၀ဠာတစ္ခုလံုးကို ခရီးႏွင္ႏုိင္မွာျဖစ္ပါတယ္။ ဘာျဖစ္လုိ႕လဲဆုိေတာ့ လကမၻာရဲ႕ ဆြဲငင္အားက ကမၻာ့ ဆြဲငင္အားရဲ႕ ၆ ပံု ၁ ပံုသာ ရွိတာမုိ႕ လကမၻာမွာ အေျခစိုက္စခန္းထားႏုိင္ခဲ့ရင္ ေလာင္စာအနည္းငယ္နဲ႕ပဲ ေနစၾကာ၀ဠာထဲက ၿဂိဳဟ္ေတြကုိ သြားေရာက္ ေလ့လာႏုိင္မွာ ျဖစ္ပါတယ္။ (ကမၻာကေန တုိက္ရုိက္သြားမယ္ဆုိရင္ေတာ့ ကမၻာေျမရဲ႕ ဆြဲငင္အားကုိ လြန္ဆန္ႏုိင္တဲ့ လြတ္ေျမာက္အလ်င္ (escape velocity) ရဖုိ႕ကုိ ေလာင္စာ အမ်ားႀကီး သံုးရပါတယ္။) 

လြန္ခဲ့တဲ့ ႏွစ္ေပါင္း ၄၀ ၁၉၆၉ ခု ဇူလုိင္လ ၂၀ ရက္ေန႕ (ဒီေန႕) မွာ အေမရိကန္ အာကာသသူရဲေကာင္း အမ္းစထေရာင္းနဲ႕အယ္လ္ဒြင္တုိ႕ဟာ လူသားထုတရပ္လံုးရဲ႕ ကုိယ္စား လကမၻာကို ေျခခ်ကာ အမွတ္တရအျဖစ္ အေမရိကန္ အလံကို လႊင့္ထူထားႏုိင္ခဲ့ပါတယ္။ အမ္းစထေရာင္းရဲ႕ သိမ္းငွက္ ေျခခ်လုိက္ၿပီ (Eagle has landed) နဲ႕ လွလုိက္တာ (Beautiful view) ဆုိတဲ့ သတင္းပုိ႕သံေတြဟာ ယေန႕တုိင္ ေရပန္းစားေနဆဲပါ။ (သီခ်င္းအခ်ိဳ႕မွာ remix လုပ္တာ၊ Game အခ်ိဳ႕မွာ ထည့္ထားတာ၊ ရုပ္ရွင္အခ်ိဳ႕မွာ မွီျငမ္းတာ စသျဖင့္ ေတြ႕ရွိရပါတယ္။)

စစ္ေအးေခတ္ အာကာသ နည္းပညာ ၿပိဳင္ဆုိင္မႈေၾကာင့္ လူသားတရပ္လံုး လူေနမႈ အဆင့္အတန္း တဟုန္ထုိး တုိးတက္ေျပာင္းလဲခဲ့ပါတယ္။ လံုး၀လံုးတဲ့ သတၱဳစက္လံုးကို ပံုသြန္းႏုိင္တာကစလုိ႕ ကြန္ပ်ဴတာေတြအလယ္၊ ေလေၾကာင္း နည္းပညာအဆံုး အမ်ားႀကီး တုိးတက္မႈ ရေစခဲ့တာ ျငင္းလုိ႕မရပါဘူး။ လက္ရွိမွာ အာကာသ စူးစမ္းေလ့လာေရးမွာ လူသားေတြ အားေလ်ာ့ေနေပမဲ့ (အၾကမ္းဖက္မႈ တုိက္ဖ်က္ေရးေတြ၊ စီးပြားပ်က္ကပ္ေတြနဲ႕ ရႈပ္ေနတာကုိး) တရုတ္ႏုိင္ငံက သိပ္မၾကာခင္မွာ လေပၚကုိ လူမဲ့ခရီးစဥ္လႊတ္မယ္၊ ေအာင္ျမင္ရင္ လေပၚကုိ လူတက္မယ္ဆုိတာ ၾကားရေတာ့ စၾကာ၀ဠာႀကီးကုိ လူသားေတြ စုိးမုိးႏုိင္ဖုိ႕ ေမွ်ာ္လင့္ခ်က္ေတြ ျပန္လည္ ႏုိးထလာပါၿပီ။

လကမၻာေန႕ (ဇူလုိင္ ၂၀ ရက္ေန႕) ႏွစ္ပါတ္လည္အျဖစ္ ေရးသား ဂုဏ္ျပဳပါသည္။

ရုပ္ျမင္ထဲက သိပၸံ ၂

www.phdcomics.com တြင္ေဖာ္ျပခဲ့ေသာ ေအာက္ပါ ကာတြန္းမ်ားသည္ ထိမိၿပီး ဟာသေျမာက္သည့္အတြက္ ေလာရွည္ - ကတဲ့ပြဲ၏ စာဖတ္သူမ်ားအတြက္ ကာတြန္းေရးဆြဲသူ၏ ခြင့္ျပဳခ်က္ျဖင့္ ျပန္လည္ ေဖာ္ျပပါသည္။

ျပန္ဖတ္ရန္ ။ ။ ရုပ္ျမင္ထဲက သိပၸံ

ၿပီးၿပီလုိ႕ထင္တာ။ ကာတြန္းဆရာက ေနာက္ထပ္ ၃ ကြက္ ထပ္ဆြဲသဗ်။

"Piled Higher and Deeper" by Jorge Cham
www.phdcomics.com


"Piled Higher and Deeper" by Jorge Cham
www.phdcomics.com


"Piled Higher and Deeper" by Jorge Cham
www.phdcomics.com

ရုပ္ျမင္ထဲက သိပၸံ

www.phdcomics.com တြင္ေဖာ္ျပခဲ့ေသာ ေအာက္ပါ ကာတြန္းမ်ားသည္ ထိမိၿပီး ဟာသေျမာက္သည့္အတြက္ ေလာရွည္ - ကတဲ့ပြဲ၏ စာဖတ္သူမ်ားအတြက္ ကာတြန္းေရးဆြဲသူ၏ ခြင့္ျပဳခ်က္ျဖင့္ ျပန္လည္ ေဖာ္ျပပါသည္။

"Piled Higher and Deeper" by Jorge Cham
www.phdcomics.com


"Piled Higher and Deeper" by Jorge Cham
www.phdcomics.com



"Piled Higher and Deeper" by Jorge Cham
www.phdcomics.com


"Piled Higher and Deeper" by Jorge Cham
www.phdcomics.com

မိုးႀကိဳး အႏၱရာယ္ကာကြယ္ေရး သိေကာင္းစရာ

The Voice Weekly Journal (June 8 2009) မွာ ရန္ကုန္တုိင္း၊ လႈိင္သာယာၿမိဳ႕နယ္၊ လယ္ကြင္းတစ္ခုအတြင္း ဂဏန္းႏႈိက္ေနစဥ္ မုိးႀကိဳးပစ္ခံရလုိ႕ တစ္ဦးေသဆံုးၿပီး ၃ ဦး ဒဏ္ရာရရွိေၾကာင္း ဖတ္ရႈရပါတယ္။ ဒါေၾကာင့္ မုိးႀကိဳးအႏၱရာယ္ကာကြယ္ေရး ေဆာင္းပါးကုိ ေရးသားတင္ဆက္လုိက္ရပါတယ္။

ဆံပင္ေထာင္သလား၊ သတိထား

ပထမဆံုး သိရမွာက မုိးႀကိဳးမုန္တုိင္းက်ေရာက္စဥ္မွာ မိမိမွာ အႏၱရာယ္ရွိမရွိ သံုးသပ္ဖုိ႕ လုိအပ္ပါတယ္။ နားလည္ရအလြယ္ကူဆံုးကေတာ့ ၃၀/၃၀ စည္းမ်ဥ္းပါပဲ။ မုိးႀကိဳးပစ္တဲ့ အလင္းေရာင္ ျဖတ္ကနဲ ျမင္လုိက္ရတဲ့အခ်ိန္ကစၿပီး ေရတြက္လုိ႕ စကၠန္႕ ၃၀ အတြင္းမွာ မုိးႀကိဳးပစ္သံကုိ ၾကားရရင္ စက္ကြင္းမလြတ္ဘူး၊ အႏၱရာယ္ရွိလာေတာ့မယ္လုိ႕ သိရပါမယ္။ (မုိးႀကိဳးမုန္တုိင္းက်တဲ့ ဧရိယာဟာ ၆ မုိင္ေလာက္ ရွိတတ္ၿပီး မုိးႀကိဳးပစ္သံဟာ ၅ စကၠန္႕ကုိ ၁ မုိင္သြားတာမုိ႕ စကၠန္႕ ၃၀ အတြင္းဆုိရင္ မလြတ္ဘူး ေျပာတာပါပဲ။) ဒါေပမဲ့ ဒီလုိ တုိင္းတာဟာ မုိးႀကိဳး အဆက္မျပတ္ ပစ္ေနတဲ့အခါမ်ိဳးမွာ အသံုးမ၀င္ႏုိင္ပါဘူး။ သင့္ေဘးက လူ ဆံပင္ေတြ ေထာင္ေနရင္၊ သင့္ဆံပင္ေတြ တင္းေနၿပီဆုိရင္ အႏၱရာယ္နဲ႕ အရမ္းနီးေနၿပီဟု သိပါ။

ကားထဲမွာ ၿငိမ္ၿငိမ္ေန၊ ေလွ်ာက္မကုိင္နဲ႕

မုန္တုိင္းက်လုိ႕ မုိးႀကိဳးပစ္မဲ့ အလားအလာကုိ ေတြ႕ရၿပီဆုိရင္ ခုိနားစရာ ခ်က္ခ်င္း ရွာရပါမယ္။ (မ်ားေသာအားျဖင့္ မုိးလဲ ရြာေနတတ္ပါတယ္။) သစ္ပင္ျမင့္ျမင့္ေတြမွာ ခုိ၀င္ျခင္းဟာ အႏၱရာယ္မကင္းဘူးဆုိတာ လူအမ်ားသိၿပီး ျဖစ္ပါတယ္။ မုိးႀကိဳးပစ္တယ္ဆုိတာ ေကာင္းကင္ေပၚက လွ်ပ္စစ္လံုးႀကီး က်လာတာမဟုတ္ပဲ ေကာင္းကင္က လွ်ပ္စစ္ငုတ္ (တိမ္တုိက္) နဲ႕ ေျမျပင္ေပၚက လွ်ပ္စစ္ငုတ္အၾကား ဗုိ႕အားျမင့္ လွ်ပ္စစ္စီးသြားတာပါပဲ။ ခၽြန္ထက္ ျမင့္မားတဲ့ အရာေတြဟာ အဲဒီလုိ လွ်ပ္စစ္စီးဖုိ႕ လြယ္တဲ့အတြက္ သစ္ပင္ေအာက္မုိးမခုိနဲ႕၊ ထီး (သံခၽြန္ပါတဲ့ထီး) မေဆာင္းနဲ႕၊ ဓာတ္တုိင္ေတြနားမွာ မေနနဲ႕ လုိ႕ ေျပာၾကတာပါပဲ။ မုိးႀကိဳး မုန္တုိင္းက်ေရာက္ေနစဥ္မွာ ခုိင္ခံ့တဲ့ အေဆာက္အဦ (မုိးႀကိဳးလႊဲ စနစ္တက် တပ္ဆင္ထားလွ်င္ ပိုေကာင္းသည္) အတြင္းသို႕ ၀င္ေရာက္ ခုိနားသင့္ပါတယ္။ ျပတင္းေပါက္မ်ားနဲ႕ သတၱဳပစၥည္းမ်ားနဲ႕ ေ၀းေ၀းေနပါ။ အိမ္ထဲမွာမုိ႕ ေအးေဆးဆုိၿပီး ပလပ္တပ္ထားတဲ့ လွ်ပ္စစ္အသံုးအေဆာင္ (တီဗြီ၊ ေရခဲေသတၱာ) တုိ႕ကုိ ကုိင္တြယ္ျခင္း မျပဳရပါဘူး။ (ျဖစ္ႏုိင္ရင္ အဲဒီပစၥည္းေတြကုိ ႀကိဳးျဖဳတ္ထားျခင္းျဖင့္ ပစၥည္းပ်က္စီးမႈကို ကာကြယ္ႏုိင္ပါတယ္။ ႀကိဳလုပ္ပါ။) အနီးပတ္၀န္းက်င္မွာ ခုိင္ခံ့တဲ့ အေဆာက္အဦမရွိခဲ့လွ်င္ ေမာ္ေတာ္ကားအတြင္းသို႕၀င္ၿပီး ကားမွန္မ်ားကုိ အကုန္တင္ထားပါ။ (သတိ၊ မုိးပြင့္ကားလွလွေလးမ်ားကုိ မဆုိလုိပါ။) ေမာ္ေတာ္ကားသည္ သံကြန္ခ်ာကဲ့သုိ႕ ျဖစ္ေနသျဖင့္ သင့္အား မုိးႀကိဳးေၾကာင့္ ဓာတ္လုိက္ေသဆံုးျခင္းမွ ကာကြယ္ေပးမွာ ျဖစ္ပါတယ္။ သတၱဳနဲ႕ ျပဳလုပ္ထားတဲ့ ကားေမာင္းေခြ (steering wheel)၊ ဂီယာေျပာင္းတံတုိ႕ကုိ မကုိင္ရန္လဲ သတိထားပါ။ ကားအတြင္းရွိ ေရဒီယုိကုိလဲ မဖြင့္သင့္ပါ။

၀မ္းလ်ားေမွာက္မေနပါနဲ႕

ကြင္းျပင္အတြင္းမွာ ခုိကုိးရာမဲ့ ျဖစ္ေနၿပီဆုိပါက ေဆာင့္ေၾကာင့္ထုိင္ခ်ၿပီး ဖေနာင့္နဲ႕ ေျမႀကီးကို ေသခ်ာထိထားပါ။ သင့္နားရြက္ကုိ သင္ကုိင္ထားၿပီး လံုးလံုးေလး ျဖစ္ေနပါေစလုိ႕ သိပၸံပညာရွင္မ်ားက ဆုိပါတယ္။ အမ်ားေျပာသလုိ ဗုိက္နဲ႕ ေျမႀကီးထိၿပီး ၀မ္းလ်ားေမွာက္မေနပါနဲ႕။ ၀မ္းလ်ားေမွာက္ေနျခင္းေၾကာင့္ သင့္အား မုိးႀကိဳးတည့္တည့္မပစ္ေသာ္လည္း သင့္ေဘးက ေျမျပင္ (သို႕မဟုတ္) သစ္ပင္စသည္တုိ႕ကုိ ပစ္လုိ႕ စက္ကြင္းမလြတ္ခဲ့လွ်င္ သင့္၀မ္းတြင္း ကလီစာမ်ားအားလံုး ဓာတ္လုိက္ခံရမွာ ျဖစ္ပါတယ္။ ဒါဆုိရင္ မုိးႀကိဳးအပစ္မခံရေသာ္လည္း အသက္ေသဆံုးႏုိင္ပါတယ္။ သိပၸံလက္ေတြ႕ စမ္းသပ္ခန္းတစ္ခုမွာ စမ္းျပတာကေတာ့ ခၽြန္ေနတဲ့ သတၱဳတံနဲ႕ လံုးေနတဲ့ သတၱဳလံုးကို မုိးႀကိဳးပစ္ေစရာ (၂ ခုလံုးကုိ တူညီေသာ လွ်ပ္စစ္အေျခေပးေသာ္လည္း) သတၱဳတံကုိ အႀကိမ္ေပါင္းမ်ားစြာပစ္မွ သတၱဳလံုးကို တႀကိမ္သာ ပစ္တာကို စာေရးသူ မ်က္ျမင္ေတြ႕ခဲ့ဖူးပါတယ္။ သိပၸံပညာရွင္မ်ား အဆုိအရ အထက္ပါပံုစံႏွင့္ ထုိင္ေနပါက မိုးႀကိဳးပစ္ခံရသည့္တုိင္ ကုိယ္တြင္းအဂၤါမ်ား ဓာတ္လုိက္မခံရသျဖင့္ အသက္ေသဆံုးရန္ အခြင့္အလမ္း နည္းပါးတယ္လုိ႕ ဆုိပါတယ္။

မုိးႀကိဳးပစ္ခံရသူ အႏူမဟုတ္

မုိးႀကိဳးပစ္ျခင္းခံရပါက အပူေၾကာင့္ ေလာင္ကၽြမ္းျခင္းႏွင့္ လွ်ပ္စစ္ဓာတ္လုိက္ခံရသျဖင့္ ႏွလံုးရပ္သြားျခင္းတုိ႕ ခံစားရတတ္သျဖင့္ တစံုတေယာက္ မုိးႀကိဳးပစ္ခံရပါက ၄င္းကို ခ်က္ခ်င္း ေဆးကုသမႈ ေပးရန္ အေရးႀကီးပါတယ္။ မီးေလာင္ေနပါက မီးၿငိမ္းသတ္ေပးရန္ လုိအပ္ေသာ္လည္း မီးေလာင္ဒဏ္ရာမ်ားကုိ အရင္မကုသပါႏွင့္။ ႏွလံုးမခုန္ပါက အသက္ရွဴအားကူ ကုသျခင္းျဖင့္ ခ်က္ခ်င္း နည္းမွန္လမ္းမွန္ ကုသပါ။ လူနာကုိ ထိေတြ႕ျခင္းျဖင့္ ကူညီကုသသူကုိ ဓာတ္မလုိက္ႏုိင္ပါ။ (သို႕ရာတြင္ … ကြင္းျပင္ထဲရွိ လူနာအနီးတြင္ မုိးႀကိဳးပစ္ခံရခ်င္စရာေကာင္းေအာင္ ကုိးရုိးကားယား လုပ္မေနပါႏွင့္။ လံုၿခံဳေသာေနရာသုိ႕ ေရႊ႕ေျပာင္းသင့္က ေရႊ႕ေျပာင္းပါ။)

စာရႈသူမ်ား မုိးႀကိဳးအႏၱရာယ္ ကင္းေ၀းပါေစ။

ကုိးကား ။ ။ http://www.fema.gov/kids/sabrina.htm, http://firstaid.about.com/od/heatcoldexposure/ht/07_avoid_ltning.htm

စိန္႕ပီတာစဘတ္ ၀ိေရာဒိ

ေခါင္းပန္းလွန္တမ္း ကစားၾကရေအာင္။ ပထမ စစခ်င္းမွာ ဒုိင္က ပုိက္ဆံ ၁ က်ပ္ေလာင္းပါမယ္။ ေခါင္း (Head) က်ရင္ စာရႈသူက ပုိက္ဆံ ၁ က်ပ္ ရပါမယ္။ ကစားပြဲလဲ ၿပီးပါမယ္။ တကယ္လုိ႕ ပန္း (Tail) က်သြားရင္ေတာ့ ဒုိင္က ပုိက္ဆံ ၂ က်ပ္ (အရင္တခါ ေလာင္းထားတဲ့ ပမာဏကုိ ၂ နဲ႕ ေျမွာက္ၿပီး) ေလာင္းပါမယ္။ ေခါင္းက်ရင္ စာရႈသူ ပုိက္ဆံ ၂ က်ပ္ရပါမယ္။ ပန္းက်ရင္ေတာ့ ဒုိင္က ပုိက္ဆံ ၄ က်ပ္ (အရင္တခါ ၂ က်ပ္ကုိ ၂ နဲ႕ ေျမွာက္ၿပီး) ေလာင္းပါမယ္။ အဲဒီလုိနဲ႕ ပန္းမက်မခ်င္း ဆက္ေလာင္းသြားမွာ ျဖစ္ပါတယ္။ ဒီကစားပြဲကုိ စာရႈသူ ကစားရမယ္ဆုိရင္ ၀င္ေၾကး ဘယ္ေလာက္ ေပးမွာလဲ။ (ဒါမွမဟုတ္ ၀င္ေၾကးကို ဘယ္ေလာက္ သတ္မွတ္သင့္သလဲ။)

ပထမဆံုး ျဖစ္တန္စြမ္း သီ၀ရီအရ ေမွ်ာ္မွန္းတန္ဖုိး (Expected value) E ကုိ တြက္ၾကည့္ရေအာင္။

E = (½) x 1 + (½ x ½) x 2 + (½ x ½ x ½) x 4 + (½ x ½ x ½ x ½) x 8 + …

E = Sum_{(k = 1 to infinity)} (½)^k x 2^(k-1) = infinity

ေမွ်ာ္မွန္းတန္ဖုိးဟာ အကန္႕အသတ္မရွိကုိ ျပန္႕ကားထြက္သြား (diverge) ပါတယ္။ အဓိပၸါယ္ကေတာ့ ကစားပြဲ တစ္ပြဲစီတုိင္းမွာ စာရႈသူရမဲ့ (ႏုိင္မဲ့) ပုိက္ဆံက အကန္႕အသတ္မရွိပါတဲ့။ ေမွ်ာ္မွန္းတန္ဖုိးဆုိတာက ျဖစ္တန္စြမ္းဆုိင္ရာ ျဖစ္စဥ္ (Probabilistic event) တစ္ခုကို အေခါက္ေပါင္းမ်ားစြာ ျဖစ္ေစရင္ ပ်မ္းမွ်အားျဖင့္ ရလာမဲ့ တန္ဖုိးပါတဲ့။ အဆံုးသတ္ ေကာက္ခ်က္ခ်ေတာ့ ၀င္ေၾကးဟာ ဘယ္ေလာက္ပဲ ျဖစ္ျဖစ္ ဒီကစားပြဲကုိ ကစားဖုိ႕ တေယာက္ေယာက္က ဖိတ္ေခၚခဲ့ရင္ စာရႈသူ မကစားပဲ မေနပါနဲ႕။ ကစားကုိ ကစားပါ။ ေရရွည္မွာ စာရႈသူဘက္က အသာခ်ည္းပါပဲလုိ႕ အေျဖထြက္လာပါတယ္။

ဒီအဆုိ ဘယ္ေလာက္မွန္ႏုိင္လဲ စဥ္းစားၾကည့္ရေအာင္။ ဒီျပႆနာကုိ နီကုိးလပ္စ္ ဘာေနာလီးက ေထာက္ျပကတည္းက ဒီလုိကစားရင္ စာရႈသူဘက္က ဂိန္ကုိ ဂိန္မယ္ဆုိတာ လူေတြက သိပါသတဲ့။ ဒါေပမဲ့ သခ်ၤာနည္းနဲ႕ အေျဖထုတ္ေတာ့ စာရႈသူဘက္က ပြေပါက္တုိးၿပီလုိ႕ အေျဖထြက္ေနတယ္။ ျဖစ္တန္စြမ္း သီ၀ရီကုိ ေျမာင္းထဲပုိ႕ရေတာ့မလား။ ဒီျပႆနာကုိ စိန္႕ပီတာစဘတ္ ၀ိေရာဒိလုိ႕ ေခၚပါတယ္။

စိန္႕ပီတာစဘတ္ ၀ိေရာဒိကုိ အမ်ိဳးမ်ိဳး အေျဖထုတ္ခဲ့ၾကပါတယ္။ သခ်ၤာပညာရွင္ အမ်ားစု လက္ခံထားတာကေတာ့ ေမွ်ာ္မွန္း အသံုးက်မႈ သီ၀ရီ (Expected Utility Theory) ရဲ႕ ရွင္းခ်က္ပါ။ (စာေရးသူ နားမလည္ပါ။ ဖတ္ဖို႕လဲ အခ်ိန္မရွိလုိ႕ပါ။) ဒါေၾကာင့္ စာေရးသူပုိၿပီး အကၽြမ္းတ၀င္ျဖစ္တဲ့ ျဖစ္တန္စြမ္း ခ်ိန္ဆျခင္း (Probability Weighing) နဲ႕ ရွင္းျပပါမယ္။ (ဒီေနရာမွာ စီးပြားေရး ပညာရွင္တခ်ိဳ႕က ဒီကစားပြဲမွာ ဒုိင္ဘက္က နာဖုိ႕ခ်ည္းေသခ်ာေနတာေၾကာင့္ ဘယ္ဒုိင္မွ ဒါမ်ိဳး ေပးေလာင္းမွာမဟုတ္တဲ့အတြက္ အေျဖရွာစရာလဲ မလုိဘူးလုိ႕ ရွင္းၾကပါေသးတယ္။ စာေရးသူ သိပ္သေဘာမက်ပါ။)

ျဖစ္တန္စြမ္း ခ်ိန္ဆျခင္းအရ စာရႈသူ အႏုိင္ရမဲ့ ျဖစ္ရပ္ရဲ႕ ျဖစ္တန္စြမ္းကိုပဲ ဦးတည္တြက္ခ်က္ပါမယ္။ ကစားပြဲကုိ ကစားဖုိ႕ စာရႈသူဟာ ပုိက္ဆံ n က်ပ္ (၃၂ က်ပ္လုိ႕ထားပါ) ေပးရတယ္ဆုိပါေတာ့။ ဒါဆုိရင္ ၁ က်ပ္၊ ၂ က်ပ္၊ ၄ က်ပ္၊ … ၊ n က်ပ္ (၃၂ က်ပ္) ပဲ ျပန္ရရင္ မကိုက္ပါဘူး။ (စာရႈသူဘက္က အေရးမသာပါဘူး။) အဲဒါကို ၁ ထဲကေန ၁ က်ပ္၊ ၂ က်ပ္၊ ၄ က်ပ္၊ … ၊ n က်ပ္ရမဲ့ ျဖစ္တန္စြမ္းေတြကို ႏႈတ္ျပီး ေအာက္ပါအတုိင္း တြက္ရမွာျဖစ္ပါတယ္။

P(You win when you bet n) = 1 – P(1) – P(2) – P(4) - … - P(n) = 1 – P(H…) – P(TH…) – P(TTH) - … - P(T^log(n)H) = 1 - Sum_{(k = 1 to n)} P(T^log(k)H)

P(You win when you bet n) = 1 - Sum_{(k = 1 to log(n)+1)} ½^k = ½^log(n)+1

ေသခ်ာသတိထားၾကည့္ရင္ n ဟာ အကန္႕အသတ္မရွိ ႀကီးလာတာနဲ႕အမွ် စာရႈသူဘက္က ႏုိင္မဲ့ ျဖစ္တန္စြမ္းဟာလဲ သုညနီးပါး ငယ္သြားတာကုိ ေတြ႕ႏုိင္ပါတယ္။ (၂ က်ပ္ဖုိးေလာင္းရင္ ႏုိင္ဖုိ႕အခြင့္အလမ္းက ၄ ပံု ၁ ပံု ရွိေပမဲ့ ၃၂ က်ပ္ဖုိးေလာင္းရင္ေတာ့ ႏုိင္ဖုိ႕အခြင့္အလမ္းက ၆၄ ပံု ၁ ပံု ပဲျဖစ္သြားပါၿပီ။) ဒီ၀ိေရာဒိက ေပးတဲ့ သင္ခန္းစာကေတာ့ ေမွ်ာ္မွန္းတန္ဖိုးတစ္ခုတည္းကုိပဲ ၾကည့္ၿပီး ေနရာတကာ ဆံုးျဖတ္ခ်က္ခ်လုိ႕ မရေၾကာင္းပါပဲ။ တခါတေလမွာ ေမွ်ာ္မွန္းတန္ဖုိးဟာ စုဆံုျခင္း (convergence) မျဖစ္တဲ့အခါမွာ ဒီလုိမ်ိဳး ၀ိေရာဒိေတြ ေပၚေပါက္လာတတ္ေၾကာင္း ေရးသားရင္း စိန္႕ပီတာစဘတ္ ၀ိေရာဒိအေၾကာင္း ေဆာင္းပါးငယ္ကုိ နိဂံုးခ်ဳပ္အပ္ပါတယ္။ စာရႈသူတုိ႕အားလံုး ျဖစ္တန္စြမ္းသီ၀ရီကုိ အသံုးခ်လုိ႕ ေလာဘသား လူလိမ္လူညာတုိ႕ရဲ႕ လိမ္လည္လွည့္စားခံရျခင္းေဘးမွ ကင္းေ၀းပါေစ။

၁၇၂၆ ဇူလုိင္လ ၃၁ ရက္ေန႕မွာ ဆံုးပါးသြားတဲ့ နီကုိးလပ္စ္ ဘာေနာလီးကုိ ဒီေဆာင္းပါးငယ္နဲ႕ ဂုဏ္ျပဳပါတယ္။

ကၽြန္ေတာ့္ရဲ႕ ခ်စ္သည္းလႊာ

ကၽြန္ေတာ္ အထက္တန္းေအာင္ၿပီးေတာ့ ကၽြန္ေတာ့္ရဲ႕ ခ်စ္ဦးသူ ေက်ာင္းသြားေဖာ္ မမနဲ႕ ခဏေ၀းသြားတယ္။ ႏုိင္ငံရပ္ျခားမွာ ကြန္ပ်ဴတာနဲ႕ ပတ္သက္တဲ့ ၿပိဳင္ပြဲတစ္ခုသြားဖုိ႕ ျမန္မာ ကြန္ပ်ဴတာ ပညာရွင္မ်ားအသင္းက ကၽြန္ေတာ္နဲ႕ သူငယ္ခ်င္းတခ်ိဳ႕ကုိ ေလ့က်င့္ေပးတဲ့ သင္တန္းမွာ ကၽြန္ေတာ့္ရဲ႕ ခ်စ္သည္းလႊာေလး သူမကုိစေတြ႕တယ္။ သူမဟာ မမထက္ အမ်ားႀကီး ငယ္ေပမဲ့ ကၽြန္ေတာ့္ထက္ေတာ့ အသက္ႀကီးလုိ႕ ကၽြန္ေတာ္က ‘မ’လုိ႕ပဲ ေခၚပါတယ္။

‘မ’ဟာ မမနဲ႕ ေဆြနီးမ်ိဳးစပ္ေတာ္တာမုိ႕ မမလုိပဲ အရမ္းကုိ ေခ်ာေမာလွပတဲ့ မိန္းမပ်ိဳကေလး ျဖစ္ပါတယ္။ မမလုိ အခ်ိဳးအဆစ္ ေျပျပစ္တဲ့ ေကာက္ေၾကာင္းေတြ မရွိေပမဲ့ ခ်စ္စရာေကာင္းေလာက္ေအာင္ ၿပံဳးတတ္တဲ့အျပင္ မမလုိပဲ သိမ္ေမြ႕နက္ရႈိင္းၿပီး နားလည္ရခက္တဲ့ အသည္းႏွလံုးကုိလဲ ပုိင္ဆုိင္ထားသူ ျဖစ္ျပန္ပါေသးတယ္။

‘မ’ကုိစေတြ႕တဲ့ေန႕ကုိ ကၽြန္ေတာ္အခုထိ မေမ့ေသးဘူး။ ‘မ’ကုိ ကၽြန္ေတာ္က ဟဲလုိလုိ႕ ႏႈတ္ဆက္ေတာ့ အရွက္ႀကီးဟန္တူတဲ့ ‘မ’က ခ်က္ခ်င္းမေျပာပဲ ေကြ႕ပတ္ေနပါေသးတယ္။ သံုးခါေလာက္ ေတာင္းပန္တုိးလ်ိဳးၿပီးမွ ‘မ’က ကၽြန္ေတာ့္ကုိ ဟဲလုိ လုိ႕ ျပန္ေျပာပါတယ္။ အဲဒီအခ်ိန္မွာ ခ်စ္ဦးသူမမကုိ ကၽြန္ေတာ္ ခဏေမ့သြားၿပီး ရင္ေတြခုန္လာပါတယ္။ အဲဒီအခ်ိန္ကစလုိ႕ ‘မ’ဟာ ကၽြန္ေတာ့္ရဲ႕ ဘ၀ျဖစ္လာၿပီး သူမရဲ႕ စြဲမက္ဖြယ္ အလွအပေတြနဲ႕ ကၽြန္ေတာ့္ကုိ သူမအနားက မခြဲမခြာခ်င္ေအာင္ ဆြဲေဆာင္ထားပါေတာ့တယ္။ ထူးဆန္းတာက သူမနဲ႕ အလုပ္လုပ္ေနရရင္၊ သူမနဲ႕ ပတ္သက္တာေတြကုိ သိေအာင္ လုပ္ေနရရင္ ကၽြန္ေတာ့္မွာ မေမာႏုိင္ မပန္းႏုိင္၊ ထမင္းေမ့၊ ဟင္းေမ့ပါပဲ။ အဲဒီလုိ သူမနဲ႕ အေနနီးေလေလ၊ လူတကာမသိတဲ့ သူမရဲ႕ လ်ိဳ႕၀ွက္ခ်က္ေတြ၊ အမူအက်င့္ေတြကုိ ပုိၿပီး နက္နက္ရႈိင္းရႈိင္း သိလာေလေလ၊ သူမကုိ ပုိခ်စ္၊ ပုိၿပီး စံုမက္ ျမတ္ႏုိးလာေလေလပါပဲ။

မမေလာက္ မဟုတ္ေပမဲ့လဲ ‘မ’ဟာလဲ နယ္ပယ္အေတာ္မ်ားမ်ားမွာ ၀င္ဆန္႕သူကေလး တစ္ဦးပဲ ျဖစ္ပါတယ္။ အထူးသျဖင့္ ဒီဘက္ေခတ္ စီးပြားေရးနဲ႕ လူမႈေရး နယ္ပယ္ေတြမွာ ကၽြန္ေတာ့္ရဲ႕ ‘မ’ဟာ အလြန္ပဲ အေရးပါ အရာေရာက္သူ ျဖစ္ပါတယ္။ ေဆးဘက္ပညာရပ္ဆုိင္ရာ ကိစၥရပ္ေတြမွာလဲ မမနဲ႕အတူ ၀ုိင္း၀န္း ကူညီတတ္သလုိ ရႈပ္ေထြးတဲ့ စာရင္းဇယားေတြနဲ႕ ပတ္သက္လာရင္လဲ ကၽြမ္းက်င္ပါတယ္။ ကြန္ပ်ဴတာကုိ ခုိင္းေစရမဲ့ အလုပ္ေတြ အားလံုးအတြက္ ‘မ’ရဲ႕ အကူအညီ လုိအပ္တယ္ဆုိရင္ ကၽြန္ေတာ္ေျပာတာ လြန္မယ္ မထင္ပါဘူး။

စိတ္ေကာက္တတ္တာေတာ့ မမတုိ႕ အမ်ိဳးေတြရဲ႕ ေမြးရာပါ ဗီဇမုိ႕လုိ႕ ‘မ’ဟာလဲ စိတ္ေကာက္တတ္သူ တစ္ေယာက္ေပါ့။ စိတ္ႏွလံုး ႏူးညံ့တယ္ဆုိေပမဲ့ သူမနဲ႕ အလုပ္လုပ္ရာမွာ သတိလက္လြတ္ ေပါ့ေပါ့ဆဆမ်ား လုပ္ခဲ့မိရင္ တညလံုး အိပ္မရေအာင္ ကဂ်ီကေဂ်ာင္ လုပ္ရာမွာ မမထက္ မညံ့ပါဘူး။ ေပါ့ဆတဲ့လူကုိ အျပစ္ေပးရာမွာလဲ တစ္ညမက၊ ႏွစ္ညမက၊ ညစဥ္ရက္ဆက္ မ်က္တြင္းေဟာက္ပက္ျဖစ္ေလာက္ေအာင္ ရက္စက္လြန္းတာကေတာ့ မမထက္ေတာင္ သာသြားပါေသးတယ္။ ဒါေပမဲ့လဲ သူမရဲ႕ ခ်စ္စဖြယ္ အၿပံဳးနဲ႕ ခြင့္လႊတ္မႈရဲ႕ ေနာက္ဆက္တြဲ တပ္မက္ဖြယ္ အနမ္းမ်ားေၾကာင့္ သူမအေပၚ ကၽြန္ေတာ္ ၾကာရွည္ေလးျမင့္ စိတ္မဆုိးႏုိင္ပါဘူး။

‘မ’ဟာ ဘာသာစကားမ်ိဳးစံုကုိ တတ္ေျမာက္ၿပီး နယ္ပယ္အသီးသီးက ပညာရွင္အသီးသီးနဲ႕ လုိက္ဖက္ညီမဲ့ ဘာသာစကားကုိလဲ ေျပာပါတယ္။ သူမဟာ အပုိသိပ္မေျပာပဲ လုပ္ငန္းေဆာင္တာ အစီအစဥ္နဲ႕ ပတ္သက္တာကုိပဲ တံုးတိတိ ေျပာတတ္ပါတယ္။ အဲဒီလုိ တံုးတိတိ ေျပာတတ္လုိ႕ ‘မ’ေျပာတဲ့ စကားေတြကုိ နားလည္ဖုိ႕ခဲယဥ္းတဲ့အတြက္ေၾကာင့္ ‘မ’နဲ႕ တြဲဖက္အလုပ္လုပ္သူေတြက မွတ္ခ်က္ေတြ ထည့္ထည့္ေျပာေပးရေလ့ ရွိပါတယ္။ အခုေနာက္ပုိင္းေတာ့ ‘မ’ဟာ သူေျပာတာကုိ သာမာန္လူေတြ ပုိနားလည္ရလြယ္ကူေအာင္ ရုပ္၀တၳဳပစၥည္းေတြနဲ႕ စပ္လ်ဥ္းၿပီး ေျပာတာ မ်ားလာပါတယ္။

ၾကားမိတာကေတာ့ ေဒၚနယ္လ္နပ္ ဆုိတဲ့လူက ‘မ’ရဲ႕အေၾကာင္းကုိ အတြဲ ၇ တြဲပါ စာအုပ္ေရးသားဖုိ႕ ႀကံစည္ထားပါသတဲ့ (အခုေတာ့ ၅ တြဲပဲ ေရးၿပီးေသးတယ္ဆုိပဲ)။ အားတဲ့တစ္ေန႕မွ အဲဒီစာအုပ္ေတြ ကၽြန္ေတာ္ ရွာဖတ္ရဦးမယ္။ မနက္ျဖန္မနက္က်ရင္ေတာ့ ‘မ’နဲ႕ အတူတူ မနက္စာ စားရမွာမုိ႕ ေစာေစာအိပ္ပါေတာ့မယ္ဗ်ိဳ႕။

ေသျခင္း

လူေတာ္ေတာ္မ်ားမ်ားက ေသတာကုိ ေမ့ေနၾကတယ္ ။ ကုိယ့္ေဘးက ကုိယ့္သူငယ္ခ်င္း ေဆြမ်ိဳးသားခ်င္းေတြ ေၾကြလြင့္သြားရင္ေတာင္မွ အသုဘ လုိက္ပုိ႕ရင္ေတာင္မွ ေသတာနဲ႕ ကုိယ္နဲ႕မဆုိင္သလုိ ၊ လားလားမွ မအပ္စပ္သလုိ လုိက္ပုိ႕ၾကတယ္ ။ ေၾသာ္ အျပန္လမ္းမွာေတာင္ တခ်ိဳ႕ တဟီးဟီး၊ တဟားဟား လုပ္တတ္ၾကေသးရဲ႕ ။

ထူးျမတ္က tag လုိက္လို႕ ဒီပုိစ့္ကုိ ေရးျဖစ္တာ ဆုိေပမဲ့ ေသေသခ်ာခ်ာ ေရးပါမယ္လုိ႕ စဥ္းစားထားတယ္ ။ ဒီေန႕ေတာ့ နည္းနည္း စိတ္ပါေနလုိ႕ ေရးျဖစ္ပါတယ္ ။ ဒါေပမဲ့ ဘယ္လုိ ေသရမယ္ စိတ္ကူးယဥ္ၾကည့္လုိ႕ မရေသးဘူး ။ ငယ္ငယ္တုန္းကေတာ့ သူေဌးႀကီးျဖစ္ခ်င္တာနဲ႕ ၊ အင္ဂ်င္နီယာႀကီးျဖစ္ၿပီး ဘယ္လုိ ယာဥ္ႀကီးကုိ တီထြင္တာနဲ႕ ၊ သိပၸံပညာရွင္ႀကီးျဖစ္ၿပီး ဓာတ္ခြဲခန္းထဲမွာ ဘယ္လုိ စမ္းခ်င္တာနဲ႕ စိတ္ရွိတုိင္း စိတ္ကူးယဥ္ေပမဲ့ ေသတာကုိ တခါမွ စိတ္ကူးမယဥ္ဖူးဘူး ။

ေတြ႕ဖူးတဲ့ ရုပ္ရွင္ထဲက ေသတဲ့ ပံုစံေတြ စဥ္းစားၾကည့္မိတယ္ ။ A Walk to Remember ထဲမွာက မင္းသမီးက သူခ်စ္တဲ့ မင္းသားနဲ႕ အတူအေဖာ္လုပ္ရင္း အသက္ထြက္သြားတယ္ ။ Independent Day ထဲမွာ ဇုိးသမားတစ္ေယာက္က သူ႕မိန္းမနဲ႕ ကေလးေတြ ဓာတ္ပံုကုိ ၾကည့္ရင္း ပုဂံျပားပ်ံကုိ ဖင္၀င္ေဆာင့္ ... အဲ အဲ ... ပုဂံျပားပ်ံထဲက Energy Source ကုိ ေလယာဥ္ပ်ံနဲ႕ ထုိး၀င္ေဖာက္ခြဲပစ္လုိက္တယ္ ။ I, Robot ထဲမွာ ဥာဏ္ရည္တုဆုိင္ရာ သိပၸံပညာရွင္ႀကီးက တုိက္ေပၚက ခုန္ခ်ၿပီး အေရးတႀကီး ကိစၥတစ္ရပ္ေပၚေနၿပီျဖစ္ေၾကာင္း မင္းသားကုိ အသိေပးလုိက္တယ္ ။ The Day after Tomorrow ထဲမွာ ၊ Vertical Limit ထဲမွာ သရုပ္ေဆာင္ေတြ သူငယ္ခ်င္း ေတာင္တက္ေဖာ္ေတြအတြက္ ကုိယ့္ႀကိဳးကုိယ္ ျဖတ္ခ်ၾကတယ္ ။ စာေရးသူကေရာ ဘယ္လုိ ေသမွာလဲ ။

စိတ္ကူးယဥ္တာပဲဟာ ၊ ျဖစ္ခ်င္တာျဖစ္ စိတ္ကူးပစ္လုိက္မယ္ဗ်ာ ။ ကဲ ကဲ ... စ ပါ ၿပီ ။

Princeton ရဲ႕ ေႏြဦးမနက္ခင္း ... ရာသီဥတုက အရမ္းကို သာယာတယ္ ။ ကုိလုိနီေခတ္ပံုစံ သိပ္မဆန္တဲ့ ၁၉ ရာစုကတည္းက ေဆာက္ထားတဲ့ အိမ္အုိကေလးက ေဆးသုတ္မွန္မွန္သုတ္ေပးတာေၾကာင့္ အေရာင္က လြင္ေနတုန္းပဲ ။ အိပ္ေရးပ်က္ေနတဲ့ မ်က္ႏွာနဲ႕ အရပ္ရွည္ရွည္ အဘုိးႀကီးတစ္ေယာက္ အိမ္ထဲက စာရြက္ေတြနဲ႕ ေခ်ာင္းတဟြပ္ဟြပ္ဆုိးရင္း ေျပးထြက္လာတယ္ ။ ကားနားကုိေရာက္မွ ျပန္သတိရၿပီး အိမ္ဘက္ကုိျပန္ေျပး စာရြက္တစ္ရြက္ ျပန္ယူတယ္ ။ ျပန္အထြက္မွာ သူနဲ႕ ရြယ္တူေလာက္ရွိတဲ့ အဘြားႀကီးတစ္ေယာက္ကိုလဲ အနမ္းေလး ေပးခဲ့ေသးတယ္ ။

ကားစက္ႏႈိးေတာ့ ကားက လြယ္လြယ္ပဲ ႏႈိးသြားတယ္ ။ ေဆာင္းတြင္းဆုိရင္ေတာ့ ႏႈိးရခက္ေပမဲ့ အခုေတာ့ ေဆာင္းကုန္ၿပီေလ ။ ငွက္ကေလး ၂ ေကာင္၊ ၃ ေကာင္လဲ ကားစက္ဖံုးေပၚ နားေနရာကေန လန္႕ၿပီးပ်ံေျပးသြားတယ္ ။ ေခ်ာင္းဆုိးျပန္တယ္ ။ အင္း ... ညက်ရင္ ေဆးေသာက္ၿပီးမွ အိပ္ရမယ္လုိ႕ စိတ္ကူးရင္း ကားကုိ ေမာင္းထြက္လုိက္တယ္ ။

Princeton တကၠသိုလ္ရဲ႕ တစ္ခုေသာ ခန္းမမွာ သခ်ၤာပညာရွင္ေတြ (အသံုးခ်၊ အင္ဂ်င္နီယာဆုိင္ရာ၊ သီ၀ရီဆုိင္ရာ) နဲ႕ ကြန္ပ်ဴတာ သိပၸံ ပညာရွင္ေတြ (အခ်က္အလက္အေျခ ၊ ဘာသာစကား ၊ တြက္ခ်က္ျခင္းဆုိင္ရာ သီ၀ရီ ၊ Algorithm ၊ ဥာဏ္ရည္တု ... အုိ ... အစံုပဲ) လည္ပင္းတဆန္႕ဆန္႕ ၊ ေခါင္းတေမာ့ေမာ့နဲ႕ အေမွ်ာ္ႀကီး ေမွ်ာ္ေနၾကတယ္ ။ သူတုိ႕အခ်င္းခ်င္းလဲ ျဖစ္ႏုိင္တယ္ ၊ မျဖစ္ႏုိင္ဘူး ျငင္းခုန္ေနၾကေသးတယ္ ။ တခ်ိဳ႕ကေတာ့ ဒီေန႕ ေဟာေျပာပြဲက ျပန္သြားရင္ ဆက္ရွင္းရမဲ့ ၊ ဆက္လုပ္ရမဲ့ ျပႆနာေတြကုိ တုိးတုိးတိတ္တိတ္ စဥ္းစားေနၾကတယ္ ။

ခဏအၾကာမွာ သူတုိ႕ နည္းနည္း လႈပ္လႈပ္ရြရြ ျဖစ္သြားတယ္ ။ တခ်ိဳ႕က ထိုင္ေနရာကေန ထၾကည့္ၾကတယ္ ။ ထၾကည့္သူတခ်ိဳ႕ကလဲ အေယာင္ေယာင္အမွားမွားနဲ႕ တံခါးေပါက္၀ဖက္ကို ေလွ်ာက္သြားၾကတယ္ ။ တခ်ိဳ႕ကေတာ့ ထုိင္ေနရာကပဲ လွည့္ၾကည့္ၾကတယ္ ။ တခ်ိဳ႕ကေတာ့ ေအးေအးေဆးေဆးပါပဲ ... Clay Mathematical Institute က တာ၀န္ရွိပုဂၢိဳလ္ေတြ ေရာက္လာတာေလ လုိ႕လဲ ေျပာသံၾကားလုိက္ရတယ္ ။

အရပ္ရွည္ရွည္နဲ႕လူက ကားေမာင္းလာတာမွာ တလမ္းလံုး ေခ်ာင္းေတြဆုိးလာတယ္ ။ ေနာက္ေတာ့ ေခ်ာင္းဆုိးရံုတင္မကဘူး ရင္ဘတ္ထဲကပါ ေအာင့္လာတယ္ ။ ဒါေပမဲ့ သူ႕ကုိ တေလာကလံုးက ေမွ်ာ္လင့္ေနၾကသလုိပဲ ကားကုိ မရပ္မနား ေမာင္းလာတယ္ ။ ဒီေန႕မွ ရာသီဥတုကလဲ သာယာလုိက္တာ ။ ညေနက်ရင္ ေလွ်ာက္လည္မွပဲလုိ႕ သူေတြးလုိက္ေသးတယ္ ။ အေတြးမဆံုးခင္မွာပဲ ရင္ဘတ္က ေအာင့္လာျပန္တယ္ ။ မေန႕ညက ညနက္လုိ႕ ျဖစ္မယ္ ။ အသက္လဲ ႀကီးၿပီ ... ဒီေန႕ၿပီးရင္ အၿငိမ္းစားယူေတာ့မွပဲလုိ႕လဲ ေတြးမိေသးတယ္ ။ အမွန္ဆုိ သူအၿငိမ္းစားယူသင့္တာ လြန္ခဲ့တဲ့ ၁၃ ႏွစ္ေက်ာ္ကတည္းက ။

တကၠသိုလ္၀င္းထဲေရာက္ေတာ့ ေခါင္းက မုိက္ကနဲ ျဖစ္သြားတယ္ ။ ဒါေပမဲ့ ကိစၥမရွိေလာက္ပါဘူးဆုိၿပီး စာရြက္ေတြယူၿပီး ခန္းမဆီကုိ သုတ္သုတ္ေလွ်ာက္တယ္ ။ ေလွ်ာက္ရင္းေမာလာေတာ့ ရင္ဘတ္က ပုိေအာင့္လာသလုိပဲ ။ အဲဒါနဲ႕ ခဏနားတယ္ ။ ဒါလဲ မသက္သာဘူး ။ သူေမ့လဲသြားတယ္ ။

တခန္းမလံုးလဲ ဆူညံေနၿပီ ။ ၿဖီးတာပါကြာဆုိတဲ့ အသံကုိ ခပ္ငယ္ငယ္ ခပ္စြာစြာ ဘြဲ႕လြန္ေက်ာင္းသား တစ္ေယာက္ဆီက စၾကားရတယ္ ။ မျဖစ္ႏုိင္ပါဘူးဆိုတဲ့ အသံေတြ ပုိဆူညံလာတယ္ ။ မေစာင့္ႏုိင္သူတခ်ိဳ႕ ခန္းမကုိ စြန္႕ခြာစ ျပဳၿပီ ။ ေစာေစာက ရုပ္ရုပ္သဲသဲ ၾကားထဲက ေရာက္လာတဲ့ တာ၀န္ရွိပုဂၢိဳလ္ေတြလဲ နာရီကုိ ၾကည့္ကုန္ၾကၿပီ ။ တခ်ိဳ႕ ေက်ာင္းသား ေက်ာင္းသူတခ်ိဳ႕က အျပင္ထြက္ၿပီး ေမွ်ာ္တယ္ ။ ခန္းမထဲမွာ လူေတြ တျဖည္းျဖည္း ေလ်ာ့လာတယ္ ။ အဲဒီမွာ ...

လူတစ္ေယာက္ ေျပး၀င္လာတယ္ ။ စိတ္အားထက္သန္စြာနဲ႕ ထၾကည့္ၾကတဲ့ လူတခ်ိဳ႕ရဲ႕ မ်က္ႏွာမွာ စိတ္ပ်က္အားေလ်ာ့ျခင္း အေရာင္ေတြ လႊားကနဲ ေျပးသြားတယ္ ။ ေျပးလာသူကေျပာတယ္ ပါေမာကၡကို ႏွလံုးေရာဂါနဲ႕ Princeton ေဆးရံုကို တင္ပုိ႕လုိက္ရလုိ႕ ဒီေန႕ ေဟာေျပာပြဲ ဖ်က္လုိက္ေၾကာင္း ေျပာတယ္ ။ သူ႕မ်က္ႏွာမွာလဲ ေခၽြးသီးေခၽြးေပါက္ေတြနဲ႕ ။ ဘယ္မွာလဲ ၊ ဘယ္လုိ ျဖစ္တာလဲ စတဲ့ ဘကုန္းေမးခြန္းေတြ ေျပာင္းဆန္သြားတယ္ ။ ေနာက္ဆံုးက်ေတာ့ သူလဲက်သြားတယ္ဆုိတဲ့ ေနရာကုိ အေမာတေကာ ေျပးၾကတယ္ ။

ေျပးေပမဲ့လဲ ေနာက္က်သြားၿပီ ။ ျမက္ခင္းကုိ ေရျဖန္းတဲ့ ေရပန္းတန္ခုိးနဲ႕ ေရစုိေနတဲ့ စာရြက္ေတြကုိ အမႈိက္သိမ္းတဲ့ စည္ပင္၀န္ထမ္းက တံျမက္စည္းလွည္းေနတယ္ ။ ေရစုိေနေတာ့ စာရြက္ေတြက ခ်က္ခ်င္းပါမလာဘူး ၊ တခ်ိဳ႕လဲ စုတ္ၿပဲကုန္တယ္ ။ တခ်ိဳ႕ကေတာ့ ေလလြင့္ၿပီး အနီးက ေရကန္ထဲကုိ က်ကုန္တယ္ ။ ေျပးလာတဲ့ လူအုပ္ကုိ ျမင္ေတာ့ စည္ပင္၀န္ထမ္းလန္႕သြားတယ္ ။ ဟုိလူအုပ္ႀကီးကလဲ သူ႕ကုိ လက္ညိဳးထုိးၿပီး အမ်ိဳးစံု ေအာ္ဟစ္လာတာကုိး ။ လန္႕သြားေတာ့ အမႈိက္ေတြမသိမ္းလုိ႕ ဆူေတာ့မယ္ထင္ၿပီး ျမန္ျမန္လွဲတယ္ ။ သူကလွဲေလ ၊ ဟုိလူအုပ္ႀကီးက ေအာ္ေလ ။

ေနာက္ဆံုးေတာ့ ေရကန္ထဲက်သြားတဲ့ စာရြက္ပုိင္းေတြ ရသေလာက္ကို လူအုပ္ႀကီးထဲက ခပ္ငယ္ငယ္ ဘြဲ႕လြန္ေက်ာင္းသား တစ္ေယာက္က ဆင္းဆယ္ပါတယ္ ။ ေက်ာင္းသူတခ်ိဳ႕ကလဲ အမႈိက္ပံုးထဲ ႏိႈက္ၿပီးေတာ့ စာရြက္ေတြ ျပန္ရလုိရျငား ႀကိဳးပမ္းၾကတယ္ ။ ေလလြင့္ေနတဲ့ စာရြက္ေတြကုိ ေခါင္းေျပာင္ေနတဲ့ လူႀကီးက လုိက္ဖမ္းေနတယ္ ။ သူတုိ႕အားလံုး ရတာေတြ စုၾကည့္ေတာ့လဲ ၃၊ ၄ ပုိင္းရယ္ ။ အဆက္အစပ္က မရွိ ။ အားလံုးရဲ႕ စိတ္ပ်က္ ၊ အားေလ်ာ့ ၊ ေဒါကန္ေနတဲ့ မ်က္ႏွာကုိၾကည့္ၿပီး စည္ပင္၀န္ထမ္းရဲ႕ မ်က္ႏွာက ဇီးရြက္ပဲ ရွိေတာ့တယ္ ။

ရလာတဲ့ စာရြက္ေတြကုိ ဆက္ၾကည့္ေတာ့ စာအုပ္ရဲ႕ ေနာက္ဆံုး စာမ်က္ႏွာက ၃ ပုိင္းျဖစ္ေနတယ္ ။ ဘာမ်ားေရးထားမလဲလုိ႕ သိခ်င္ၾကေတာ့ လူႀကီးတစ္ေယာက္က ဖတ္ျပတယ္ ။ ..... and that explains the last anomaly and prove P = NP problem. အားလံုးပဲ တေယာက္မ်က္ႏွာ တေယာက္ၾကည့္ၾကျပန္တယ္ ။ အဲဒီလူႀကီးက ဆက္ဖတ္တယ္ ။ Electronic copy of this paper is available at http://lawshay.blogspot.com တဲ့ ။ အားလံုးပဲ မ်က္ႏွာေတြ ၀င္းသြားၿပီးေတာ့ ေရစိုေနတဲ့ ျမက္ခင္းေပၚမွာတင္ထုိင္ၿပီးေတာ့ သူတုိ႕ရဲ႕ လက္ဆြဲကြန္ပ်ဴတာေတြကုိ ဖြင့္ၾကတယ္ ။ တခ်ိဳ႕ကလဲ ကြန္ပ်ဴတာခန္းမ ရွိရာကုိ ေျပးၾကတယ္ ။

ေနာက္တေန႕မနက္မွာ ေလာရွည္ကုိ Princeton ေဆးရံုက ႏွလံုးေရာဂါနဲ႕ ကြယ္လြန္သြားပါၿပီလုိ႕ ေၾကျငာပါတယ္ ။ ၃၇ ရက္တိတိ ၀ုိင္း၀န္း စစ္ေဆးၾကၿပီးတဲ့ေနာက္ Clay Mathematical Institute က ေလာရွည္ရဲ႕ အေမြခံေတြကို ေဒၚလာ တစ္သန္း ခ်ီးျမွင့္ပါတယ္ ။ ေနာက္ ၆ လအၾကာမွာ Google က http://lawshay.blogspot.com ကုိ လာေရာက္ ၾကည့္ရႈသူ မ်ားျပားတဲ့အတြက္ သီးသန္႕ဆာဗာတလံုးကို ေရႊ႕ေျပာင္းလုိက္ပါတယ္ ။ အဲဒီႏွစ္အတြက္ Alan Turing Award ကုိ အေရွ႕ေတာင္အာရွက ပညာရွင္တစ္ေယာက္က ပထမဆံုးအႀကိမ္ ဆြတ္ခူးရရွိပါတယ္ ။

စိတ္ကူးက စိတ္ကူးပဲ ။ အခုအတုိင္းဆုိရင္ေတာ့ ေဆးရံုမွာ ပိုက္တန္းလန္းနဲ႕ ေသဖုိ႕ကေတာ့ အခြင့္အလန္း အမ်ားဆံုးပဲ ။ ဇနီးရယ္ သားသမီးေတြရယ္၊ သားမက္ေတြ ေခၽြးမေတြရယ္ ေျမးေတြရယ္ တၿပံဳတပင္ ၀ုိင္းရံေန၊မေနကေတာ့ မေသခ်ာဘူး ။ အိမ္ေထာင္ကလဲ က်ဦးမွ ။ က်တာေတာင္ သားသမီးေတြ ထြန္းကားဦးမွ ။ ထြန္းကားတာေတာင္ ကုိယ္ေသတဲ့အခ်ိန္မွာ သူတုိ႕က အိမ္ေထာင္ျပဳၾကဦးမွ ။ ျပဳၾကတာေတာင္ သားသမီးေတြ ထြန္းကားလာဦးမွ ။

ဒီပုိ႕စ္ကုိ ဖတ္မိတဲ့လူတုိင္းကုိ ျပန္ tag ပါတယ္ ။ ေရးေပးၾကပါ ။ ဘေလာ့ဂ္မရွိလဲ ဘေလာ့ဂ္တစ္ခု အသစ္ယူၿပီး ေရးၾကပါ ။ ဟုတ္ဘူးလား ။ ေဆးရံုမွာ အခန္းကပ္ရပ္လဲ ျဖစ္ခ်င္ျဖစ္ေနမွာ ။

ျမန္မာႏုိင္ငံ စာေမးပြဲစနစ္ကုိ သခ်ၤာနည္းျဖင့္ ေလ့လာဆန္းစစ္ျခင္း။

စင္ကာပူ အမ်ိဳးသား တကၠသိုလ္၊ တြက္ခ်က္မႈပညာ ေက်ာင္းခြဲ (National University of Singapore – School of Computing) က အသစ္စက္စက္ ဒုတိယဌာနမွဴးက ျမန္မာႏုိင္ငံေက်ာင္းသားေတြရဲ႕ ေက်ာင္းေလွ်ာက္လႊာမ်ားကုိ အကဲျဖတ္ရာမွာ အမွတ္စာရင္းေတြကုိ အဓိပၸါယ္မသိရွိပဲ အခက္ႀကံဳေနလုိ႕ စာေရးသူတုိ႕ လက္ရွိ ေက်ာင္းသားမ်ားကုိ ေခၚယူေမးျမန္းပါတယ္။ တတ္အားသမွ် ရွင္းျပအၿပီးမွာ ျမန္မာႏုိင္ငံရဲ႕ စာေမးပြဲစနစ္ကုိ သခ်ၤာနည္းနဲ႕ လြယ္လြယ္ပံုစံထုတ္ျပလုိ႕ ရမလားလုိ႕ စာေရးသူေတြးမိပါတယ္။ အဲဒါနဲ႕ ဒီစာတမ္းကုိ ေရးသားျဖစ္ပါတယ္။

ဒုတိယ ဌာနမွဴးလုိအပ္ေနတာက က၊ ခ၊ ဂ၊ ဃ၊ က် အကၡရာ အဆင့္ေတြကေနၿပီးေတာ့ ေက်ာင္းသားေတြရဲ႕ ထူးခၽြန္ထက္ျမက္မႈကုိ ျပန္လည္တြက္ထုတ္ဖုိ႕ပဲ ျဖစ္ပါတယ္။ အဲဒီလုိ တြက္ထုတ္ဖုိ႕အတြက္ ေက်ာင္းသားေတြရဲ႕ ထူးခၽြန္ထက္ျမက္မႈကုိ အကၡရာအဆင့္ေတြကုိ ေျပာင္းလုိက္တဲ့ မူလ မွီခ်က္ကုိ သိဖုိ႕လုိအပ္ပါတယ္။ ဒီစာတမ္းငယ္မွာ အဆုိပါ မွီခ်က္ကုိ သခ်ၤာနည္းနဲ႕ ပံုစံထုတ္ဖုိ႕ ႀကိဳးစားၾကည့္မွာ ျဖစ္ပါတယ္။

ပထမဆံုး အေတြးထဲကုိ အလြယ္တကူ ၀င္ေရာက္လာတာကေတာ့ စာေမးပြဲဆုိတာ ေက်ာင္းသားေတြရဲ႕ အစုကုိ ေအာင္/က် ဆုိတဲ့ တန္ဖုိးႏွစ္ခုတည္းရွိတဲ့ ရလဒ္အစု (Co-domain) ကုိ ေျပာင္းေပးတဲ့ မွန္/မွား မီခ်က္ (Binary function) အျဖစ္ ပံုစံထုတ္ဖုိ႕ပဲ ျဖစ္ပါတယ္။ (အမွန္ေတာ့ အကၡရာအဆင့္ေတြ သတ္မွတ္တဲ့ မွီခ်က္ကုိ မွန္/မွား မွီခ်က္ေတြ အဆင့္ဆင့္ ထပ္ထားျခင္းျဖင့္ တည္ေဆာက္ႏုိင္ေၾကာင္း Induction အသံုးျပဳ သက္ေသျပႏုိင္တဲ့အတြက္ ေဆြးေႏြးရာမွာ ရွင္းလင္း လြယ္ကူေစဖုိ႕ မွန္/မွား မွီခ်က္ကုိ အသံုးျပဳျခင္း ျဖစ္ပါတယ္။) ဒီမွီခ်က္ကို ေက်ာင္းသားေတြရဲ႕ ထူးခၽြန္မႈကုိ ရလဒ္အစုအျဖစ္ ေျပာင္းေပးတဲ့ မွီခ်က္အျဖစ္ အလြယ္တကူ ေျပာင္းလဲေဖာ္ျပႏုိင္ေၾကာင္း ျမင္သာပါတယ္။ ပထမဆံုး ပံုစံထုတ္လုိက္တဲ့ စာေမးပြဲ မွီခ်က္ကုိ ေအာက္တြင္ ၾကည့္ပါ။

f : X --> {P, F}
f (x) = P ; x >= thr
f (x) = F ; otherwise

where f = exam function for a certain subject; X = partial ordered set of merit of all students; x = merit of the student; thr = certain threshold value (pass mark); and P/F = pass/fail values.

ဒီ ေလွခါးထစ္ပံုစံ မွီခ်က္ဟာ ဘာသာရပ္တစ္ခုတည္းအတြက္ပဲ ျဖစ္ပါတယ္။ ဘာသာရပ္တစ္ခုတည္းအတြက္ မွီခ်က္ကုိ မွန္ကန္စြာ သတ္မွတ္ၿပီးရင္ ဘာသာရပ္ အမ်ားအျပားအတြက္ အလုပ္လုပ္ႏုိင္မဲ့ မွီခ်က္ကုိ တြက္ထုတ္ဖုိ႕က လြယ္ကူသြားၿပီ လုိ႕ေမွ်ာ္လင့္ႏုိင္ပါတယ္။ (ေနာက္ထပ္ အတုိင္းအတာ - Dimension - တစ္ခု ထပ္ထည့္ရံုပဲ ျဖစ္ပါတယ္။)

ဒီနည္းနဲ႕ ပံုစံထုတ္ရာမွာ တြက္ခ်က္မႈ မ်ားတဲ့ ဘာသာရပ္ (တြက္စာ) ေတြအတြက္ မွန္ကန္တိက်ေပမဲ့ (အမ်ား - Error - နည္းပါးေပမဲ့) က်က္မွတ္မႈကုိ အေလးထားတဲ့ ဘာသာရပ္ (က်က္စာ) ေတြအတြက္ အမွား အရမ္းမ်ားေနဦးမယ္လုိ႕ ခန္႕မွန္းရပါတယ္။ (ဒီေနရာမွာ အမွားကုိ ေရတြက္ပံုေရတြက္နည္းကေတာ့ ေအာင္သင့္တဲ့လူကုိ ခ်ပစ္ရင္၊ က်သင့္တဲ့လူကုိ ေအာင္ပစ္ရင္ အမွားတစ္ခုလုိ႕ ေရတြက္ပါတယ္။ အဲဒီအမွားေတြကုိ ေပါင္းၿပီး ေက်ာင္းသားဦးေရ စုစုေပါင္း - သုိ႕မဟုတ္ ထူးခၽြန္မႈအဆင့္အားလံုးေပါင္း Integration of student merit in numerical form - နဲ႕စားလုိက္ရင္ အမွား ရာႏႈန္းကုိ ရမွာျဖစ္ၿပီး အဲဒီရာႏႈန္းဟာ လက္မခံႏုိင္ေလာက္ေအာင္ ႀကီးေနမယ္ - ၁၀၀% နားကုိ ကပ္ေနမယ္လုိ႕ ခန္႕မွန္းရပါတယ္။) ဒီေတြ႕ရွိခ်က္ဟာ ေက်ာင္းသားေတြရဲ႕ ထူးခၽြန္မႈရဲ႕ ပကတိ ဆူညံမႈ (pure noise) ေၾကာင့္ မျဖစ္ႏုိင္ဘူးလုိ႕ ယူဆတာနဲ႕ စာေမးပြဲ မွီခ်က္ကုိ ေက်ာင္းသားေတြရဲ႕ ဘာသာရပ္ကုိ နားလည္ အသံုးခ်ႏုိင္စြမ္းနဲ႕ ဘာသာရပ္နဲ႕ သက္ဆုိင္တဲ့ ဗဟုသုတ အတုိင္းအတာ ႏွစ္မ်ိဳးေပၚ မူတည္သတ္မွတ္ဖုိ႕ ေအာက္ပါအတုိင္း ႀကိဳးစားပါတယ္။

f X, Y --> {P, F}
f (x, y) = P ; ax + by + k >= thr
f (x, y) = F ; otherwise

where f = exam function for a certain subject; X = partial ordered set of the ability of student to apply subject knowledge; Y = partial ordered set of the student’s knowledge of the subject; x = ability of student to apply subject knowledge; y = student’s knowledge of the subject; thr = certain threshold value; P/F = pass/fail values.

ဒီမွီခ်က္ဟာ ေလွခါးထစ္ပံုစံ မွီခ်က္မဟုတ္ပဲ အေရာင္ႏွစ္မ်ိဳး (ေအာင္/က်)ကုိ အႏႈတ္ေလွ်ာေစာက္ (a/b ဟာအၿမဲပဲ အႏႈတ္ကိန္းျဖစ္ေနပါတယ္) ရွိတဲ့ မ်ဥ္းေျဖာင့္ နဲ႕ ျခားနားထားတဲ့ မွီခ်က္ပံုစံျဖစ္ေနေၾကာင္း ေတြ႕ရွိရပါတယ္။ နားလည္မႈစြမ္းရည္ကုိ ထည့္သြင္းမစဥ္းစားပဲ အလြတ္က်က္မွတ္မႈကုိ အဓိကထားတဲ့ ဘာသာရပ္ေတြမွာ ေလွ်ာေစာက္ဟာ သုညလဲ ပဲျဖစ္ႏုိင္ပါတယ္။ အဲဒီ ေလွ်ာေစာက္ဟာ အၿမဲပဲ သတ္မွတ္ခ်က္ ရွိပါတယ္ (always defined)။ ဘာျဖစ္လုိ႕လဲဆုိေတာ့ ဘာသာရပ္ဆုိင္ရာ ဗဟုသုတ မရွိပဲ နားလည္အသံုးခ်ႏုိင္စြမ္း မရွိႏိုင္လုိ႕ျဖစ္ပါတယ္။ (x = 0 => y = 0)

ဒီမွီခ်က္ဟာ မူလ အတုိင္းအတာ တစ္မ်ိဳးပါ ေလွခါးထစ္ပံုစံမွီခ်က္နဲ႕ ႏႈိင္းယွဥ္ရင္ အေတာ္အတန္ ပုိမုိတိက်တာကုိ ေတြ႕ရွိရပါတယ္။ ဒါေပမဲ့ ႏွစ္အသီးသီးက ေက်ာင္းသားမ်ားရဲ႕ အခ်က္အလက္မ်ားနဲ႕ ပံုစံထပ္ၾကည့္တဲ့အခါမွာ ျခားနားထားတဲ့ မ်ဥ္းေျဖာင့္ကုိ (ဘာသာရပ္တစ္ခုတည္းမွာေတာင္) ေနရာခ်ရခက္ခဲ (a/b နဲ႕ ကိန္းေသ k) ကုိ တြက္ထုတ္ရခက္ခဲေနတာကုိ ေတြ႕ရွိရပါတယ္။ (မူလ ေလွခါးထစ္ပံု မွီခ်က္မွာလဲ ကိန္းေသ thr ကို အတိတ္က အခ်က္အလက္ေတြအရ အတိအက် သတ္မွတ္လုိ႕ မရတာကုိ ေတြ႕ရွိရပါတယ္။)

အေၾကာင္းရင္းကေတာ့ သတ္မွတ္ ေအာင္ခ်က္ ျပည့္မီေအာင္ ေလွ်ာ့ေပါ့စဥ္းစားေပးတဲ့ စနစ္ (moderation system) ေၾကာင့္ပဲ ျဖစ္ပါတယ္။ ဆုိလုိတာက ေက်ာင္းသားေတြကုိ ဘာသာရပ္ကုိ နားလည္ႏုိင္စြမ္းနဲ႕ ဘာသာရပ္ဆုိင္ရာ ဗဟုသုတတုိ႕ေပၚမူတည္ၿပီး ျပင္ညီကုိၾသဒိနိတ္ေပၚမွာ (ေက်ာင္းသား တစ္ေယာက္ အမွတ္တစ္မွတ္ႏႈန္းနဲ႕) ေနရာခ်လုိက္ရင္ ျခားထားတဲ့ မ်ဥ္းရဲ႕ တဖက္ျခမ္း (ေအာင္တာကုိ ကုိယ္စားျပဳတဲ့ အေရာင္ထဲမွာ) လုိအပ္တဲ့ အမွတ္အေရအတြက္ ရွိေနေအာင္လုိ႕ မ်ဥ္းရဲ႕ ေလွ်ာေစာက္ (a/b) နဲ႕ ကိန္းေသ (k) ကုိ လုိအပ္သလုိ ေျပာင္းလဲ ေနရတာေၾကာင့္ ျဖစ္ပါတယ္။

အဲဒီေတာ့ ႏွစ္အလုိက္ ေျပာင္းလဲေနတဲ့ အဲဒီ ဂုဏ္သတၱိကုိ ေသခ်ာ ေလ့လာႏုိင္ဖုိ႕ အခ်ိန္ အတုိင္းအတာကုိ တတိယ အတုိင္းအတာအျဖစ္ စာေရးသူတုိ႕ မွီခ်က္ထဲကုိ ထပ္ထည့္လုိက္ပါတယ္။ (ဆုိလုိတာက a/b နဲ႕ k ဟာ အခ်ိန္ေပၚမူတည္ၿပီး ေျပာင္းလဲသြားတဲ့ မွီခ်က္ေတြ ျဖစ္သြားပါတယ္။ ေနာက္တနည္းျမင္လုိ႕ရတာကေတာ့ အတုိင္းအတာ ႏွစ္မ်ိဳးပါ စာေမးပြဲ မွီခ်က္ဟာ အခ်ိန္ကုိ ေရႊ႕ေပးလုိက္ရင္ သက္၀င္လႈပ္ရွား - animate - ျဖစ္ပါတယ္။)

ဒီလုိ အခ်ိန္ အတုိင္းအတာ ထပ္ထည့္လုိက္ေတာ့ စာေမးပြဲမွီခ်က္ဟာ အတိတ္က အခ်က္အလက္မ်ားနဲ႕ အေတာ္အတန္ ကုိက္ညီမႈ ရွိသြားပါတယ္။ ဒါေပမဲ့လဲ အနည္းငယ္မွ်ေသာ မကုိက္ညီမႈေတြ ရွိၿမဲပါပဲ။ တခ်ိဳ႕ေသာ ေနရာခ်မႈေတြမွာ (ေက်ာင္းသားတစ္ေယာက္ အမွတ္တစ္မွတ္ႏႈန္း) ေအာင္တဲ့ အေရာင္ထဲ ရွိေနေပမဲ့ က်ေနတာ (နည္းပါးတတ္ပါတယ္) က်တဲ့ အေရာင္ထဲရွိေနေပမဲ့ ေအာင္ေနတာ (ဘာေၾကာင့္မွန္းမသိ၊ အရည္အခ်င္း မျပည့္မီပဲ ေအာင္ေအာင္ေနတဲ့ ေက်ာင္းသားမ်ား မ်ားျပားတတ္ပါတယ္) ေတြကုိ ေတြ႕ရွိေနရပါတယ္။ ရလဒ္ကေတာ့ စာေရးသူတို႕ရဲ႕ အခ်ိန္ႏွင့္အမွ် သက္၀င္လႈပ္ရွားေနတဲ့ စာေမးပြဲမွီခ်က္ဟာ တခ်က္တခ်က္မွာ ေကြးေကာက္သြားတာပဲ။ ဒီလုိ ေကြးေကာက္သြားမႈေတြက ႀကံဳရာက်ပန္း သဘာ၀ရွိလုိ႕ ဘယ္လုိနည္းနဲ႕မွ သခ်ၤာပံုစံထုတ္လုိ႕မရပါဘူး။ လ်စ္လ်ဴရႈလုိက္ရေအာင္လဲ စာရင္းအင္းပညာရႈေထာင့္က ၾကည့္ရင္ အႀကိမ္အေရအတြက္ မ်ားျပားလြန္းလွပါတယ္။

ေနာက္ဆံုးေတြ႕ရွိခ်က္အေနနဲ႕ အခ်ိန္နဲ႕အမွ် ေျပာင္းလဲေနတဲ့ (တခ်က္တခ်က္ ေကြးေကာက္သြားတတ္တဲ့) မ်ဥ္းေကြးဟာ ႀကိဳတင္ တြက္ဆရ ခက္ခဲ (မရဘူး မဟုတ္ေတာင္ တြက္ခ်က္ရခက္ခဲေသာ သဘာ၀ရွိ) ပါတယ္။ အခ်ိန္ႏွင့္လုိက္ၿပီး ေျပာင္းတဲ့ႏႈန္းကုိ သိရွိေအာင္လုိ႕ အခ်ိန္နဲ႕ differentiate လုပ္ျပန္ေတာ့လဲ သုည သို႕မဟုတ္ ကိန္းေသ သို႕မဟုတ္ အေျဖာင့္တုိင္း မွီခ်က္ မရပဲ ရႈပ္ေထြးတဲ့ မွီခ်က္ကုိသာ ရရွိပါတယ္။

အဆံုးသတ္မွာေတာ့ ျမန္မာ ေက်ာင္းသားမ်ားရဲ႕ ထူးခၽြန္ထက္ျမက္မႈကုိ အကၡရာအဆင့္ေတြကုိ ေျပာင္းေပးတဲ့ မွီခ်က္ဟာ သခ်ၤာနည္းနဲ႕ လက္ေတြ႕ တြက္ခ်က္ဖုိ႕ မျဖစ္ႏုိင္ေလာက္ေအာင္ ရႈပ္ေထြးတဲ့အတြက္ ေျပာင္းျပန္မွီခ်က္ (အကၡရာအဆင့္ေတြကေန ထူးခၽြန္ထက္ျမက္မႈကုိ ျပန္လည္ တြက္ယူတဲ့ မွီခ်က္) ကုိ တြက္ထုတ္ဖုိ႕ လက္ရွိ နည္းပညာ အဆင့္အတန္းနဲ႕ တြက္ခ်က္ဖုိ႕ မျဖစ္ႏုိင္ေသးဘူးလုိ႕ ေကာက္ခ်က္ခ်ရင္း ယခုစာတမ္းငယ္ကုိ နိဂံုးခ်ဳပ္အပ္ပါတယ္။

ေက်းဇူးတင္လႊာ။ ။ သေရာ္စာ စာတမ္းငယ္ ျဖစ္ေျမာက္ေရးအတြက္ အေတြးလမ္းစေပးခဲ့ေသာ စင္ကာပူ အမ်ိဳးသား တကၠသိုလ္မွ ဒုတိယဌာနမွဴး ေဒါက္တာ မုိဟန္း ကန္ကန္ဟယ္လီ၊ သခ်ၤာနည္းစနစ္မ်ား မွန္ကန္စနစ္က်ေစရန္ Bayes' Classifier ကုိ ရွင္းျပေပးခဲ့ေသာ စင္ကာပူ အမ်ိဳးသား တကၠသိုလ္မွ လက္ေထာက္ ပါေမာကၡ ေဒါက္တာ တဲေရ႕စ္ ဆင္းမ္၊ စာေရးသူအား သခ်ၤာသင္ၾကားေပးခဲ့ေသာ စာေရးသူ၏ မိခင္၊ အမွတ္ (၁) အေျခခံပညာ အထက္တန္းေက်ာင္း၊ ဒဂံုၿမိဳ႕နယ္မွ အလယ္တန္းျပဆရာ ဦးလင္းႏုိင္၊ အထက္တန္းျပဆရာမ (ေဟာင္း) ေဒၚရင္ရင္ျမင့္၊ ရန္ကုန္ အေရွ႕ပုိင္းတကၠသိုလ္မွ ကထိက ေဒါက္တာ ေဇာ္၀င္း၊ ေရေၾကာင္းပညာ တကၠသိုလ္မွ ကထိက ေဒါက္တာ ေရႊေက်ာ္၊ ရန္ကုန္ ကြန္ပ်ဴတာ တကၠသိုလ္၊ သခ်ၤာဌာနမွ ေဒါက္တာ မ်ိဳးေကခုိင္ႏွင့္ ဆရာ/မမ်ားကုိ အထူးေက်းဇူးတင္ရွိပါသည္။

ကၽြန္ေတာ့္ရဲ႕ ခ်စ္ဦးသူ

သူမဟာ ကၽြန္ေတာ့္ရဲ႕ ေက်ာင္းသြားေဖာ္ဆုိေပမဲ့ ကၽြန္ေတာ့္ထက္ အသက္အမ်ားႀကီး ႀကီးပါတယ္။ ဒါေၾကာင့္ ကၽြန္ေတာ္က သူမကုိ မမလုိ႕ ေခၚပါတယ္။

မမဟာ အရမ္းကုိ ေခ်ာေမာလွပတဲ့ မိန္းမပ်ိဳကေလး ျဖစ္ပါတယ္။ သူမဟာ ေျပျပစ္ေခ်ာေမာတဲ့ မ်က္ႏွာဟန္ပန္၊ အခ်ိဳးအဆစ္ ေျပျပစ္ၿပီး ပန္းခ်ီေက်ာ္ေတြ လက္မႈိင္ခ်ရမဲ့ ေကာက္ေၾကာင္းေတြ၊ မ်ဥ္းေကြးေတြကုိ ပုိင္ဆုိင္ရံုမက သိမ္ေမြ႕နက္ရႈိင္းၿပီး နားလည္ရခက္တဲ့ အသည္းႏွလံုးကုိလဲ ပုိင္ဆုိင္ထားသူ ျဖစ္ျပန္ပါေသးတယ္။

မမဟာ ကၽြန္ေတာ့္ရဲ႕ အေတြးေတြကုိ အခ်ိ္န္ျပည့္ စုိးမုိးထားေလ့ ရွိပါတယ္။ ကၽြန္ေတာ္ ငယ္စဥ္ကတည္းက ကၽြန္ေတာ့္ရဲ႕ အားလပ္ခ်ိန္ေတြမွာ သူမနဲ႕ပဲ တူတူ ရွိေနျဖစ္ပါတယ္။ ေနာက္ေတာ့ အိပ္ခ်ိန္၊ ကစားခ်ိန္၊ စားခ်ိန္ေတြေတာင္ ေလ်ာ့လာၿပီး အခ်ိန္ျပည့္နီးပါး သူမအေၾကာင္းပဲ ေတြးေနမိပါေတာ့တယ္။ ထူးဆန္းတာက သူမအေၾကာင္း ေတြးေနရရင္၊ သူမနဲ႕ ပတ္သက္တာေတြကုိ သိေအာင္ လုပ္ေနရရင္ ကၽြန္ေတာ့္မွာ မေမာႏုိင္ မပန္းႏုိင္ပါပဲ။ အာဟာရသိဒၶိၿပီးသလား ေအာက္ေမ့ရေအာင္ ထမင္းေမ့၊ ဟင္းေမ့ပါပဲ။ အဲဒီလုိ သူမအေၾကာင္း စဥ္းစားေလေလ၊ သူမကုိ ပုိခ်စ္လာေလေလ၊ ပုိၿပီး စံုမက္ ျမတ္ႏုိးလာေလေလပါပဲ။

မမဟာ နယ္ပယ္စံုမွာ ၀င္ဆန္႕သူ၊ အေရးပါ အရာေရာက္သူကေလး ျဖစ္ပါတယ္။ စီးပြားေရး၊ ႏုိင္ငံေရး၊ လူမႈေရး နယ္ပယ္ေတြမွာလဲ ကၽြန္ေတာ့္ မမရဲ႕ အကူအညီမပါပဲ ႀကီးမားတဲ့ လုပ္ေဆာင္မႈေတြ လုပ္ေဆာင္လုိ႕ မရႏုိင္ေအာင္ မ်က္ႏွာႀကီးသူ ျဖစ္ပါတယ္။ ဒါတင္မက ေဆးဘက္ပညာရပ္ဆုိင္ရာ ကိစၥရပ္ေတြမွာလဲ ကူညီဖုိ႕အေရး လက္မေႏွးသူပါ။ အဆင့္ျမင့္ ကြန္ပ်ဴတာ ပညာရွင္ေတြနဲ႕ အင္ဂ်င္နီယာေတြကလဲ အေရးႀကံဳတုိင္း သူမကုိပဲ အားကုိးအားထား ျပဳရပါတယ္။

ဒါေပမဲ့ မမဟာ စိတ္ေကာက္တတ္တဲ့ မိန္းမပ်ိဳေလးပါ။ စိတ္ႏွလံုး ႏူးညံ့ေပမဲ့ သူမရဲ႕ အကူအညီကုိ ရယူရာမွာ သတိလက္လြတ္ ေပါ့ေပါ့ဆဆမ်ား လုပ္မိလုိ႕ကေတာ့ တညလံုး အိပ္မရေအာင္ ကဂ်ီကေဂ်ာင္ လုပ္တတ္ပါတယ္။ သူမကုိ ပစ္ထားလုိက္မိလုိ႕ကေတာ့ ကေ၀အတတ္ေတြနဲ႕ လွည့္စားသလား ေအာက္ေမ့ရေအာင္ ညလံုးေပါက္ ေခ်ာက္အိပ္မက္ေတြနဲ႕ (ေနာင္မလုပ္ရဲေတာ့ေအာင္) ႏွိပ္စက္မွာျဖစ္ပါတယ္။

မမရဲ႕ မင္းသားေလးအေၾကာင္းကုိ ၾကားမိေတာ့ ကၽြန္ေတာ္ အရမ္းကုိ မနာလုိျဖစ္ရပါတယ္။ အဲဒီ ေဂါက္စ္ဆုိတဲ့ လူကုိ ဆြဲထုိးခ်င္တဲ့အထိပါပဲ။ ပုိဆုိးတာကေတာ့ ဖားမက္က ကၽြန္ေတာ့္ရဲ႕ မမကုိ အလုိမတူပဲ ခုိးယူေပါင္းသင္းခဲ့ပါတယ္။ အဲဒါေတြေၾကာင့္ ဖားမက္ဟာ မမရဲ႕ ႏွလံုးသည္းပြတ္ကုိ မရယံုမက အျခားသူေတြရဲ႕ မယံုသကၤာျဖစ္ျခင္းကုိလဲ ခံရပါတယ္။ ဒါေပမဲ့ ဖားမက္နဲ႕ ေဂါက္စ္တုိ႕ေရးသားခဲ့တဲ့ မွတ္တမ္းမွတ္ရာေတြကေန သူမရဲ႕ အေၾကာင္းကုိ ကၽြန္ေတာ္ ပုိမုိသိရွိလာတာကေတာ့ အမွန္ပါပဲ။

ဒါတင္ဘယ္ကဦးမွာလဲ။ ကၽြန္ေတာ့္ မမရဲ႕ ေမြးဇာတိကုိလဲ ဘယ္သူမွ တိတိက်က် မေျပာႏုိင္ပါဘူး။ ေနာင္အနာဂါတ္မွာလဲ သမုိင္းဆရာေတြက ဆက္လက္ျငင္းခုန္ၾကဦးမွာ ျဖစ္ပါတယ္။ တခ်ိဳ႕က က၀ိပုဏၰားေက်ာ္ေတြ ေပၚထြန္းရာ အိႏၵိယျပည္လုိ႕ ယူဆၾကသလုိ တခ်ိဳ႕ကလဲ ၀ုိင္ခ်ိဳခ်ိဳေပါတဲ့ ေျမထဲပင္လယ္ေဒသလုိ႕ ထင္မွတ္ၾကပါေသးတယ္။ တခါတခါမွာလဲ ေခါင္းမာတဲ့လူေတြက မိန္းမလွမ်ား ေပါမ်ားရာ အေရွ႕အလယ္ပုိင္းလုိ႕ ျငင္းေပမဲ့ တခ်ိဳ႕တခ်ိဳ႕ေသာသူမ်ားကေတာ့ အလွဘုရင္မ ကလီယုိပါထရာရဲ႕ ဇာတိ အီဂ်စ္ျပည္ဆုိတာကေန တျပားသားမွ မေလ်ာ့ပါဘူးတဲ့။

ေသခ်ာတာကေတာ့ ဂရိလူမ်ိဳး ယူကလစ္က ကၽြန္ေတာ့္ မမကုိ ေမြးစားခဲ့ၿပီး ပုိက္သာဂုိရကေတာ့ သူမရဲ႕ အလွျပင္ဆရာပါ။ အရစ္စ္တုိတယ္လ္ကေတာ့ သူမရဲ႕ နားလည္ရခက္တဲ့ အသည္းႏွလံုးကုိ အရင္ဆံုး ပံုသြင္းသူတစ္ေယာက္ေပါ့။ သူမကုိ ဆန္းက်ယ္တဲ့ မာယာေတြ သင္ၾကားေပးလုိက္သူကေတာ့ အုိင္ဆက္ နယူတန္ဆုိတဲ့လူပဲ ျဖစ္ပါတယ္။ ေလာကမွာမရွိတာေတြကုိ စိတ္ကူးပံုေဖာ္ၿပီး လွည့္စားတတ္တဲ့ အတတ္ကုိေတာ့ အြိဳင္းလားက သင္ၾကားေပးခဲ့တာပါ။ အဲဒါေတြနဲ႕ မလံုေလာက္ေသးဘူးလုိ႕ ယူဆလုိ႕လားမသိဘူး။ ေရးမန္းန္နဲ႕ ေကာ္ခ်ီတုိ႕ ႏွစ္ေယာက္က ေပါက္တတ္ကရေတြ ထပ္မံ သင္ၾကားေပးပါေသးတယ္။ (အဲဒါေတြနဲ႕ ႏွိပ္စက္ေတာ့ ကၽြန္ေတာ့္မွာ ရူးမတတ္ပါပဲ)

ကၽြန္ေတာ္ ကၽြန္ေတာ့္မမနဲ႕ ဒီညေန ႏွစ္ပါးသြားေလး ကရဦးမွာမုိ႕ ျပင္ရ၊ ဆင္ရဦးမယ္။ အဲဒီလုိ တူႏွစ္ကုိယ္ အတူေပ်ာ္ရမဲ့ ညေနခင္းေလးအတြက္ ကၽြန္ေတာ့္မွာ ႏွစ္ေပါင္းမ်ားစြာ ျပင္ဆင္ထားရတာပါ။ ျဖစ္ႏုိင္ရင္ စား၊ ၀တ္၊ ေနေရးနဲ႕ တေလာကလံုးကုိ ေမ့ထားၿပီး သူမနဲ႕ ႏွစ္ပါးသြားေလးပဲ အၿမဲတမ္း ကေနခ်င္တယ္ဗ်ာ။