အျငင္းအခုန္ကိစၥ

BLUE SKY FOREST တြင္ေဖာ္ျပခဲ့ဖူးေသာ ေဆာင္းပါးကုိ ေလာရွည္ - ကတဲ့ပြဲ၏ မူႏွင့္ ကုိက္ညီသျဖင့္ မူရင္းေရးသားသူ၏ ခြင့္ျပဳခ်က္အရ (သတ္ပံုသတ္ညႊန္း အနည္းငယ္ ျပင္ဆင္သည္မွအပ) မူရင္းအာေဘာ္အတုိင္း ျပန္လည္ ေဖာ္ျပအပ္ပါသည္။

အျငင္းအခုန္ ဆိုတာကို ကၽြန္ေတာ္တို႔ျမန္မာေတြက ေကာင္းတဲ့သေဘာထက္ ဆိုးတဲ့သေဘာ ဒါမွမဟုတ္ မေကာင္းတဲ့လကၡဏာေဆာင္တဲ့ကိစၥလို႔ ယူဆထားပံုရပါတယ္။ လူႀကီး အမ်ားစုက ကေလးေတြ အျငင္းအခုန္ လုပ္ေနရင္မႀကိဳက္ၾကပါဘူး။ မျငင္းခုန္ၾကဖို႔သတိေပးပါတယ္၊ တားျမစ္ပါတယ္၊ ခ်ိန္းေျခာက္ပါတယ္။ တခ်ိဳ ႔ဆိုအျပစ္ေပးတဲ့အထိ၊ နာက်င္ေစတဲ့အထိေတာင္ တုံ႕ျပန္တတ္ၾကပါတယ္။ သူတို႔ရဲ ႔ အဲဒီလိုေဆာင္ရြက္မႈကို "ဆံုးမျခင္း" ဆိုတဲ့ေခါင္းစဥ္ေအာက္မွာ အလြယ္တကူပဲ သူတို႔က ထည့္ထားတတ္ၾကပါတယ္။ အနိမ့္ဆံုးအဆင့္ ကေလးေတြ အျငင္းအခုန္လုပ္တာ သူတို႔အတြက္ ဆူတယ္၊ နားပူေစတယ္၊ အေႏွာက္အယွက္ျဖစ္ေစတယ္ေပါ့။

ေနာက္တခ်က္ကေတာ့ အျငင္းအခုန္ကေနျဖစ္လာတတ္တဲ့ သဘာ၀ (တစ္ခုျဖစ္တဲ့) ရန္ျဖစ္တဲ့ကိစၥပါ။ အျငင္းအခုန္ မလုပ္ခင္ကေတာ့မိတ္ေဆြ၊ အျငင္းအခံုမွာမေျပလည္ရာက ေနာက္ပိုင္းမွာ ရန္သူသေဘာေဆာင္သြားတာေတြကို မလိုလားအပ္တဲ့ကိစၥလို႔ ကၽြန္ေတာ္တို႔လူႀကီးေတြသေဘာထားတတ္ၾကပါတယ္။ တကယ္ေတာ့ ဒါဟာျဖစ္တတ္တဲ့ သဘာ၀တစ္ခုမို႔ မလိုလားအပ္တဲ့ကိစၥလို႔ သေဘာထားမယ့္အစား သတိထားသင့္တဲ့ကိစၥ၊ သတိနဲ႔ျငင္းခုန္သင့္တဲ့ကိစၥလို႔ သေဘာထားလိုက္ရင္ အျငင္းအခုန္ကိစၥဟာ တိုးတက္မႈတစ္ခုအဆင့္ေရာက္သြားပါလိမ့္မယ္။ ဲဒီသတိတစ္ခ်က္မထားမိတာနဲ႔ပဲ ျငင္းခံုမႈဟာ လူအမ်ားၿငိဳျငင္စရာကိစၥ ျဖစ္လာရတယ္လို႔ထင္ပါတယ္။ ဒီလိုနဲ႔ ျမန္မာလူငယ္ေတြရဲ ႔ျငင္းခံုလုိစိတ္နဲ႔ ျငင္းခုန္တဲ့သဘာ၀ဟာ လူႀကီးေတြရဲ အဟန္႔အတားေအာက္မွာ ေကာင္းေကာင္းထြန္းကားခြင့္မရခဲ့ဘူးလို႔ဆိုပါရေစ။

တကယ္ေတာ့ အျငင္းအခုန္လုပ္တာကို စံနစ္တက်နဲ႔ ထြန္းကားလာေအာင္လုပ္ေပးဖို႔ လူႀကီးေတြမွာ တာ၀န္ရွိပါတယ္။ ရန္မ်ားတဲ့ကိစၥ၊ ဆူတဲ့ပူတဲ့ကိစၥလို႔သေဘာမထားပဲ အေျဖမွန္တခု ထြက္လာေအာင္၊ ပိုေကာင္းတဲ့အရာတခု ရလာေအာင္ အျမင္မတူတာေတြကိုေပါင္းစပ္ႏိုင္ေအာင္၊ တဘက္နဲ႔တဘက္နားလည္ေပးႏိုင္ေအာင္၊ သေဘာထားတတ္လာေအာင္၊ မတူညီတဲ့အျမင္ကို တန္ဘိုးထားတတ္လာေအာင္၊ အျငင္းအခံုကေန ႏွစ္ဘက္အက်ိဳးအျမတ္ရလာေအာင္၊ နည္းမွန္ လမ္းမွန္နဲ႔ ျပဳျပင္ေပးရင္၊ အေမွ်ာ္အျမင္နဲ႔ ပ်ိဳးေထာင္ေပးရင္၊ ဒီအေလ့အက်င့္က ခိုင္မာထြန္းကားလာခဲ့ရင္၊ အသိဥာဏ္ပြင့္လင္းၿပီးတိုးတက္တဲ့ ယဥ္ေက်းမႈနယ္ပယ္ တခုကိုတည္ေဆာက္ႏိုင္ပါလိမ့္မယ္။

အခုလိုေျပာရတာက တိုးတက္ထြန္းကားၿပီး ဒီမိုကေရစီနဲ႔ ပြင့္လင္းတဲ့လူ႔အဖြဲ ႔အစည္းေတြဟာ ဒီလိုအေလ့အက်င့္ေကာင္းေတြကိုအားေပးၾကတယ္ဆိုတဲ့အခ်က္ကိုအေျခခံၿပီးေျပာေနတာပါ။ေကာင္းေကာင္းမြန္မြန္ျငင္းတတ္တယ္ဆိုတာက ယဥ္ေက်းမႈတခုပဲလို႔သေဘာထားႏိုင္ၾကဖို႔ပါ။လူႀကီးေတြေၾကာင့္အခုလိုျဖစ္ရတာဆုိတဲ့အခ်က္ကို အျငင္းအခုန္လုပ္ခ်င္ေနတာမဟုတ္ပါဘူး။

ဒါေပမယ့္ျငင္းခံုစရာအခ်က္ေတြပါေနရင္ မိတ္ေဆြတို႔က ေထာက္ျပလာမယ့္အခ်က္ေတြကိုဆက္ၿပီး (စာေရးသူ Blue Sky Forest က) ေဆြးေႏြးသြားပါ့မယ္။ ဆက္ၿပီးျငင္းခုန္ႏိုင္ၾကဖို႔ခဏနားလိုက္ပါဦးမယ္။ေျပာစရာေတြရွိေနပါေသးတယ္။

Blue Sky Forest

အေျဖမွန္ အျမန္ေရြး၊ ပညာသင္ဆု ဘယ္မေ၀း ၂

ကိန္းျပည့္ X ႏွင့္ Y တုိ႕၏ ေျမွာက္လဒ္ XY တြင္ပါ၀င္ေသာ ဂဏန္းမ်ား၏ ပကတိ တန္ဖုိးမ်ားကို ဂဏန္း တစ္လံုးတည္း ရသည္အထိ ေပါင္းလုိက္ေသာ ေပါင္းလဒ္သည္ ကိန္းျပည့္ X တြင္္ ပါ၀င္ေသာ ဂဏန္းမ်ား၏ ပကတိ တန္ဖုိးမ်ားကို ဂဏန္း တစ္လံုးတည္း ရသည္အထိ ေပါင္းလုိက္ေသာ ေပါင္းလဒ္ႏွင့္ က်န္ကိန္းျပည့္ Y တြင္္ ပါ၀င္ေသာ ဂဏန္းမ်ား၏ ပကတိ တန္ဖုိးမ်ားကို ဂဏန္း တစ္လံုးတည္း ရသည္အထိ ေပါင္းလုိက္ေသာ ေပါင္းလဒ္တုိ႕ ေျမွာက္လဒ္ႏွင့္ တူညီေၾကာင္း အေျဖမွန္ အျမန္ေရြး ပညာသင္ဆု ဘယ္မေ၀း ၁ တြင္ ေဖာ္ျပခဲ့ၿပီး ျဖစ္သည္။ ယခု ၄င္း ဂုဏ္သတၱိ မွန္ကန္ေၾကာင္း သက္ေသျပမည္ ျဖစ္သည္။

သက္ေသျပရန္။ ေပးထားေသာ ကိန္းျပည့္တစ္ခု Z = z₀ × 10⁰ + z₁ × 10¹ + z₂ × 10² + … + z_n × 10ⁿ အတြက္

မွီခ်က္ f(Z) = f(z₀ + z₁ + z₂ + … + z_n) if z₀ + z₁ + z₂ + … + z_n > 9;

f(Z) = z₀ + z₁ + z₂ + … + z_n otherwise ျဖစ္ပါေစ။ f(XY) = f(f(X).f(Y)) ျဖစ္သည္။

သက္ေသျပခ်က္။

အစားသီ၀ရီ (Theory of Division a.k.a Procedure of Division) အရ မည္သည့္ကိန္းျပည့္ Z ကုိမဆုိ Z = pq + r ပံုစံနဲ႕ ေဖၚျပႏုိင္ပါတယ္ (Z၊ p၊ q ႏွင့္ r တုိ႕သည္ ကိန္းျပည့္မ်ားျဖစ္၍ r သည္ q ထက္အၿမဲငယ္သည္)။ အဲဒီမွာ q = 9 လုိ႕ ထားလုိက္ရင္ မည္သည့္ ကိန္းျပည့္ Z ကုိမဆုိ Z = 9p + r အျဖစ္ ေရးႏုိင္ပါတယ္။ (အဲဒီ p နဲ႕ r ဟာ Z ကုိ q နဲ႕စားလုိ႕ရတဲ့ စားလဒ္နဲ႕ စားၾကြင္းျဖစ္ၿပီး r သည္ 9 ထက္အၿမဲငယ္ေၾကာင္း သတိျပဳပါ။) အဲဒီေတာ့ ကိန္းျပည့္ Z = 9p + r တုိင္းဟာ 9 နဲ႕ စားရင္ p ရၿပီး r ၾကြင္းပါတယ္။

ကိန္းျပည့္ Z မွာပါတဲ့ ဂဏန္းေတြရဲ႕ မူလတန္ဖုိးေတြအားလံုး ကိန္းတစ္လံုးထဲျဖစ္ေအာင္ ေပါင္းတဲ့ ရလဒ္ f(Z) ဟာ အဲဒီကိန္းျပည့္ Z ကုိ 9 နဲ႕စားလုိ႕ရတဲ့ စားၾကြင္း (Z mod 9) နဲ႕ တူပါတယ္ (9 ခုၾကြင္း သက္ေသျပခ်က္တြင္ သက္ေသျပၿပီး)။ ဥပမာ၊ 834 ကုိ ေပါင္းၾကည့္မယ္ဆုိရင္ 8 + 3 + 4 = 15; 1 + 5 = 6 ရၿပီးေတာ့ 834 ကုိ 9 နဲ႕ စားမယ္ဆုိရင္ (စားလဒ္က 92) စားၾကြင္းက 6 ရပါမယ္။ ဒါေၾကာင့္ f(Z) = Z mod 9.

X = 9a + b ၊ Y = 9c + d ျဖစ္ပါေစ။

XY = (9a + b)(9c + d)

ညီမွ်ျခင္း၏ လက္ယာဘက္ျခမ္းမွာ …

f(XY) = f((9a + b)(9c + d))

= f(81ac + 9ad + 9bc + bd)

= (81ac + 9ad + 9bc + bd) mod 9

သုိ႕ေသာ္ 81ac mod 9 = 0; 9ad mod 9 = 0; 9bc mod 9 = 0 ျဖစ္သျဖင့္

f(XY) = (81ac + 9ad + 9bc + bd) mod 9 = bd mod 9

ညီမွ်ျခင္း၏ လက္၀ဲဘက္ျခမ္းမွာ …

f(f(X).f(Y)) = f(f(9a + b).f(9c + d))

= f(bd) = bd mod 9

ညီမွ်ျခင္း၏ လက္၀ဲဘက္ျခမ္းႏွင့္ လက္ယာဘက္ျခမ္းတုိ႕ တူညီၾကသျဖင့္ f(XY) = f(f(X).f(Y)) ျဖစ္ပါသည္။

အေျဖမွန္ အျမန္ေရြး၊ ပညာသင္ဆု ဘယ္မေ၀း ၁

လာၿပီ။ ေမးခြန္း ...

၅၆ ၇၈၃၉ × ၈၃ ၆၄၈၃ =

(က) ၄၃၈၈ ၅၄၂၀ ၉၈၄၇

(ခ) ၅၀၇၈ ၉၈၇၃ ၄၉၈၃

(ဂ) ၄၇၄၉ ၈၇၆၇ ၀၂၃၇

(ဃ) ၃၇၈၂ ၃၉၉၉ ၈၇၂၃

ႏုိင္ငံရပ္ျခား တကၠသိုလ္မ်ားတြင္ တက္ေရာက္ ပညာသင္ၾကားရန္ႏွင့္ ပညာသင္ဆု ေလွ်ာက္ထားရန္အတြက္ လုိအပ္တတ္ေသာ (SAT ကဲ့သုိ႕ေသာ စာေမးပြဲမ်ား၏) သခ်ၤာစာေမးပြဲ ေမးခြန္းလႊာမ်ားတြင္ ဤကဲ့သုိ႕ေမးခြန္းမ်ိဳး ပါေလ့ရွိသည္။ ဂဏန္းတြက္စက္ အသံုးျပဳခြင့္ေပးေသာ္လည္း အခ်ိန္ အကန္႕အသတ္ရွိတတ္ေသာ ထုိစာေမးပြဲမ်ားတြင္ ပုစၦာတစ္ပုဒ္အတြက္ ပ်မ္းမွ် မိနစ္၀က္ခန္႕သာ အခ်ိန္ရရာ ယခုကဲ့သုိ႕ေသာ ပုစၦာမ်ိဳးကို ဂဏန္းတြက္စက္ျဖင့္ အေျဖရွာပါက အခ်ိန္မမီပဲ ျဖစ္တတ္ေလသည္။

အမွန္မွာ ဤကဲ့သုိ႕ေသာ ပုစၦာမ်ိဳးကုိ ေျဖဆုိရန္အတြက္ အေျဖရေအာင္ တြက္ထုတ္ရန္ အေရးမႀကီးပါ။ ေပးထားေသာ အေျဖ ၄ ခုအနက္ အေျဖမွန္ ၁ ခုကုိသာ ေရြးထုတ္ႏုိင္ရန္ အေရးႀကီးသျဖင့္ ျဖတ္လမ္းနည္းမ်ားျဖင့္ ဤပုစၦာကုိ ေျဖရွင္းႏုိင္ရန္ ႀကိဳးစားႏုိင္ပါသည္။

ျဖတ္လမ္းနည္း (၁) အနီးဆံုးယူၿပီး တြက္ရန္

၅၆ ၇၈၃၉ ကုိ ၅၀ ၀၀၀၀၊ ၈၃ ၆၄၈၃ ကုိ ၈၀ ၀၀၀၀ ဟု အနီးဆံုး ယူလုိက္မည္။ ၄င္းတုိ႕ ၂ လံုးမွာ ေနာက္တြင္ သုညမ်ားပါသျဖင့္ ေျမွာက္ရလြယ္ပါသည္။ ၅ ကုိ ၈ ႏွင့္ ေျမွာက္လုိက္ရာ ၄၀ ဟု ထြက္လာသည္။ ၅၀ ၀၀၀၀ တြင္ သုည ၅ လံုး၊ ၈၀ ၀၀၀၀ တြင္ သုည ၅ လံုး၊ ေပါင္း ၁၀ လံုးပါသျဖင့္ အေျဖမွန္သည္ ၄၀၀၀ ၀၀၀၀ ၀၀၀၀ (၄၀ ေနာက္တြင္ သုည ၁၀ လံုးျဖည့္ထားေသာ ဂဏန္း) ထက္မနည္းေၾကာင္း ခန္႕မွန္းႏုိင္သည္။ သုိ႕ျဖစ္၍ (က)၊ (ခ) ႏွင့္ (ဂ) တစ္ခုခုသည္ အေျဖမွန္ျဖစ္သည္။ မွားလွ်င္ အမွတ္ႏႈတ္တတ္ေသာ စာေမးပြဲျဖစ္ပါက (SAT တြင္ Minus System ပါမပါ မေသခ်ာပါ) နံၾကားေထာက္ျဖည့္လွ်င္ ရွိသမွ် အမွတ္ကုန္သြားႏုိင္ရာ သိပ္မနိပ္ေသာ နည္းလမ္းျဖစ္သည္။

ဤေနရာတြင္ တစ္ခု သတိျပဳရန္မွာ အနီးဆံုးယူတာ ပုိမုိတိက်လွ်င္ အေျဖမွားမ်ားကုိ ဖယ္ထုတ္ႏိုင္စြမ္း ပုိေကာင္းလာမည္ျဖစ္သည္။ အထက္ပါ ဥပမာတြင္ ၅၆ ၇၈၃၉ ကုိ ၅၆ ၀၀၀၀၊ ၈၃ ၆၄၈၃ ကုိ ၈၃ ၀၀၀၀ ဟု အနီးဆံုး ယူလုိက္မည္ဆုိပါက အေျဖမွန္သည္ ၄၆၄၈ ၀၀၀၀ ၀၀၀၀ ထက္မနည္းဟု ခန္႕မွန္းႏုိင္မည္ျဖစ္ၿပီး ျဖစ္ႏုိင္သည့္ အေျဖမွန္ ၂ ခု (ခ ႏွင့္ ဂ) သာ က်န္ေနမည္ျဖစ္သည္။ တြက္ခ်က္မႈအတြက္ ၾကာျမင့္ခ်ိန္ အနည္းငယ္ တုိးလာေသာ္လည္း ရမ္းေျဖလုိက္ပါက ျဖစ္တန္စြမ္းသီ၀ရီ အရၾကည့္လွ်င္ မေျဖတတ္သျဖင့္ ဘဲဥကုိက္ရန္ ေသခ်ာေနေသာ ပုစၦာ ၂ ပုဒ္တုိင္းတြင္ ၁ ပုဒ္ မွန္မွာ ေသခ်ာသျဖင့္ (မွားလွ်င္ ႏႈတ္ေသာအမွတ္သည္ မွန္လွ်င္ေပးေသာ အမွတ္ထက္ နည္းေနပါက) သိပ္မဆုိးလွေသာ နည္းလမ္းျဖစ္သည္။

ျဖတ္လမ္းနည္း (၂) ေနရာလုိက္တန္ဖုိး၏ ဂုဏ္သတၱိကုိ အသံုးခ်ရန္

ဒုတိယနည္းလမ္းမွာ ေနရာလုိက္တန္ဖုိး၏ ဂုဏ္သတၱိကုိ အသံုးခ်ရန္ျဖစ္သည္။ မည္မွ်ႀကီးေသာ ကိန္းမ်ားကို ေျမွာက္ေျမွာက္ ရလဒ္၏ ခုေနရာရွိ ဂဏန္းမွာ မူလကိန္း ၂ လံုး၏ ခုေနရာရွိ ဂဏန္း ၂ လံုး ေျမွာက္လဒ္သာလွ်င္ ျဖစ္သည္။ (ဆယ္ဂဏန္းမွစ၍ ဂဏန္းမ်ား ခ်ေပါင္းရန္ လုိပါမည္။) ယခု ဥပမာတြင္ ၅၆ ၇၈၃၉ ၏ ခုေနရာရွိ ဂဏန္းမွာ ၉၊ ၈၃ ၆၄၈၃ ၏ ခုေနရာရွိ ဂဏန္းမွာ ၃ ျဖစ္ရာ ၄င္းတုိ႕ ေျမွာက္လဒ္၏ ခုေနရာရွိ ဂဏန္းမွာ (၉ × ၃ = ၂၇ ျဖစ္သျဖင့္) ၇ သာလွ်င္ ျဖစ္ရမည္၊ တနည္းအားျဖင့္ အေျဖမွန္သည္ ၇ ႏွင့္ ဆံုးရမည္။ ၇ ႏွင့္ ဆံုးေသာ အေျဖမွာ (က) ႏွင့္ (ဂ) သာရွိရာ အထက္ပါ နည္းလမ္းႏွင့္ ပူးတြဲစဥ္းစားပါက အေျဖမွန္သည္ (ဂ) ဟု ထင္ထင္ရွားရွား ထြက္လာေတာ့သည္။

ျဖတ္လမ္းနည္း (၃) အစားသီ၀ရီႏွင့္ ၉ ၾကြင္းရွာနည္းကုိ ေပါင္းစပ္ အသံုးျပဳျခင္း

အင္မတန္မွ ရက္စက္တတ္တဲ့ ေမးခြန္းထုတ္သူဟာ အေျဖအားလံုးကုိ ၄၆၄၈ နဲ႕စၿပီး ၇ နဲ႕ အဆံုးသတ္ထားပါလိမ့္မယ္။ ဘာလုိ႕လဲဆုိေတာ့ ဒီေမးခြန္းရဲ႕ အဓိက ဦးတည္ခ်က္ဟာ ဂဏန္းေျမွာက္တတ္/မတတ္ကုိ စစ္ေဆးဖုိ႕ မဟုတ္ပဲ ေျဖဆုိသူဟာ သခ်ၤာ ဂုဏ္သတၱိမ်ားကို က်င္က်င္လည္လည္ လွည့္ပတ္ အသံုးျပဳႏုိင္ျခင္း ရွိ/မရွိ စစ္ေဆးဖုိ႕ ျဖစ္ေနတာေၾကာင့္ပါပဲ။ ဒီေနရာမွာ ေနာက္တမ်ိဳး စမ္းၾကည့္သင့္တာကေတာ့ အစားသီ၀ရီနဲ႕ ၉ ၾကြင္းရွာနည္းတုိ႕ပဲ ျဖစ္ပါတယ္။

နာမည္ကုိ ဖတ္ၿပီး လန္႕မသြားပါနဲ႕ေလ။ နည္းလမ္းက လြယ္လြယ္ေလးပါ။

ပထမဆံုး ၅၆ ၇၈၃၉ နဲ႕ ၈၃ ၆၄၈၃ တုိ႕ကုိ တစ္လံုးတည္းျဖစ္ေအာင္ ေပါင္းပါ။ (ေနာက္တနည္း - ၉ ျပည့္ေအာင္ တြဲတြဲၿပီး က်န္တာေလးေတြ ေပါင္းလဲ ရတယ္။)

၅ + ၆ + ၇ + ၈ + ၃ + ၉ = ၃၈

၃ + ၈ = ၁၁

၁ + ၁ = ၂

၈ + ၃ + ၆ + ၄ + ၈ + ၃ = ၃၂

၃ + ၂ = ၅

ေနာက္ၿပီး အဲဒီ ေပါင္းလဒ္ ၂ ခုကို ေျမွာက္ပါ

၂ × ၅ = ၁၀

ရလဒ္ကုိ တစ္လံုးထည္းျဖစ္ေအာင္ ထပ္ေပါင္းပါဦး။

၁ + ၀ = ၁

အေျဖေတြကုိလဲ တစ္လံုးတည္းျဖစ္ေအာင္ ေပါင္းၾကည့္ပါ။

(က) ၄၃၈၈ ၅၄၂၀ ၉၈၄၇ ကုိ ေပါင္းေတာ့ ၈ ရတယ္။

(ခ) ၅၀၇၈ ၉၈၇၃ ၄၉၈၃ ကုိ ေပါင္းေတာ့ ၈ ရတယ္။

(ဂ) ၄၇၄၉ ၈၇၆၇ ၀၂၃၇ ကုိ ေပါင္းေတာ့ ၁ ရတယ္။

(ဃ) ၃၇၈၂ ၃၉၉၉ ၈၇၂၃ ကုိ ေပါင္းေတာ့ ၇ ရတယ္။

ေစာေစာက ေျမွာက္ၿပီး ေပါင္းထားတဲ့ (၂ × ၅ = ၁၀၊ ၁ + ၀ = ၁) ၁ နဲ႕တူတဲ့ (ဂ) ကိုေရြးလုိက္ရံုပါပဲ။

နည္းလမ္းပဲ သိခ်င္သူမ်ား ဒီေနရာမွာတင္ ရပ္ႏုိင္ပါၿပီ။ သက္ေသျပခ်က္ကုိ သိခ်င္သူမ်ား၊ ဒီလုိ ေပါင္းလုိက္ ေျမွာက္လုိက္ရံုနဲ႕ အေျဖမွန္ တုိက္စစ္တာ အၿမဲမွန္ေနပါ့မလား၊ စာေမးပြဲေနာ္ ေပါ့ပ်က္ပ်က္ မလုပ္နဲ႕လုိ႕ ဆုိခ်င္သူမ်ား သက္ေသျပခ်က္ကုိ အေျဖမွန္ အျမန္ေရြး၊ ပညာသင္ဆု ဘယ္မေ၀း အပုိင္း ၂ တြင္ ဆက္ဖတ္ပါ။

9 ခုၾကြင္း သက္ေသျပခ်က္

ကိန္းျပည့္တစ္လံုး (ဥပမာ 837) ကုိ 9 ႏွင့္ စား၍ ျပတ္/မျပတ္ သိႏုိင္ရန္အတြက္ တကယ္ စားၾကည့္ရန္ မလုိအပ္ပဲ ၄င္း ကိန္းျပည့္တြင္ ပါ၀င္ေသာ ဂဏန္းမ်ား၏ ပကတိတန္ဖုိးမ်ား ေပါင္းလဒ္ကုိ 9 ႏွင့္ စားလုိ႕ ျပတ္/မျပတ္ စစ္ေဆးျခင္းျဖင့္ သိႏုိင္ေၾကာင္း (ဥပမာ 8 + 3 + 7 = 18 ျဖစ္ရာ 837 သည္ 9 ႏွင့္စား၍ ျပတ္သည္) အေျခခံပညာတန္းတြင္ သင္ၾကား သိရွိၿပီး ျဖစ္သည္။ သုိ႕ရာတြင္ ၄င္းသီ၀ရီ မွန္ကန္ေၾကာင္း သက္ေသျပခ်က္ကုိ လူအမ်ား သိရွိမႈ နည္းပါးသျဖင့္ ေရးသား တင္ျပအပ္ပါသည္။

သက္ေသျပရန္။

ေပးထားေသာ ကိန္းျပည့္တစ္ခု Z = z₀ × 10⁰ + z₁ × 10¹ + z₂ × 10² + … + z_n × 10ⁿ အတြက္

မွီခ်က္ f(Z) = f(z₀ + z₁ + z₂ + … + z_n) if z₀ + z₁ + z₂ + … + z_n > 9;

f(Z) = z₀ + z₁ + z₂ + … + z_n otherwise ျဖစ္ပါေစ။ Z mod 9 = f(Z) ျဖစ္ေၾကာင္း သက္ေသျပပါ။

သက္ေသျပခ်က္။

အစားသီ၀ရီ (Theory of Division a.k.a Procedure of Division) အရ မည္သည့္ကိန္းျပည့္ Z ကုိမဆုိ Z = pq + r ပံုစံျဖင့္ ေဖၚျပႏုိင္ပါသည္ (Z၊ p၊ q ႏွင့္ r တုိ႕သည္ ကိန္းျပည့္မ်ားျဖစ္၍ r သည္ q ထက္အၿမဲငယ္သည္)။ ဤေနရာတြင္ q = 9 ျဖစ္လွ်င္ မည္သည့္ကိန္းျပည့္ Z ကုိမဆုိ Z = 9p + r အျဖစ္ ေျပာင္းေရးႏုိင္သည္။ (၄င္း p နဲ႕ r တုိ႕သည္ Z ကုိ q ႏွင့္ စားလုိ႕ရသည့္ စားလဒ္နဲ႕ စားၾကြင္းျဖစ္ၿပီး r သည္ 9 ထက္ အၿမဲငယ္ေၾကာင္း သတိျပဳပါ။) ထုိ႕ေၾကာင့္ ကိန္းျပည့္ Z = 9p + r တုိင္းကုိ 9 ႏွင့္ စားလွ်င္ p ရၿပီး r ၾကြင္းသည္။

မည္သည့္ အေပါင္းကိန္းျပည့္ k အတြက္မဆုိ 10^k = 9 × 10⁰ + 9 × 10¹ + … + 9 * 10^k-1 + 1 ျဖစ္သည္။ 9 ကုိ ဘံုထုတ္လွ်င္ 10^k = 9(10⁰ + 10¹ + … + 10^k-1) + 1 ဟုရလာမည္။

မွီခ်က္ g(0) = 0; g(k) = 10⁰ + 10¹ + … + 10^k-1 ျဖစ္ပါေစ။ 10^k = 9g(k) + 1 ျဖစ္မည္။

Z = z₀ × 10⁰ + z₁ × 10¹ + z₂ × 10² + … + z_n × 10ⁿ

= z₀ (9g(0) + 1) + z₁ × (9g(1) + 1)
+ z₂ × (9g(2) + 1) + … + z_n × (9g(n) + 1)

= 9g(0)z₀ + z₀ + 9g(1)z₁ + z₁
+ 9g(2)z₂ + z₂ + … + 9g(n)z_n + z_n

= 9 (g(0)z₀ + 9g(1)z₁ + 9g(2)z₂ + … + 9g(n)z_n) + z₀ + z₁
+ z₂ + … + z_n

z' = z₀ + z₁
+ z₂ + … + z_n ျဖစ္ပါေစ။

ကိန္းျပည့္ Z ကုိ 9 ႏွင့္ စားလွ်င္ ရသည့္ စားၾကြင္းႏွင့္ z' ကုိ 9 ႏွင့္စားရင္ ရသည့္ စားၾကြင္းတုိ႕ အတူတူပဲ ျဖစ္ပါသည္။ တနည္းအားျဖင့္ z' သည္ 9 ထက္ငယ္ပါက Z ကုိ 9 ႏွင့္စားလွ်င္ ရတဲ့ စားၾကြင္း Z mod 9 = z' ျဖစ္ၿပီး z' သည္ 9 ထက္ မငယ္ရင္ေတာ့ Z mod 9 = z' mod 9 ျဖစ္သည္။ မည္သုိ႕ပင္ျဖစ္ေစ z' သည္ Z ထက္ ငယ္ကုိငယ္သည္။ အဘယ္ေၾကာင့္ဆုိေသာ္ ခုဂဏန္း n လံုးေပါင္းျခင္းသည္ 9n ထက္ ပုိမႀကီးႏုိင္ပဲ 9n သည္ 10n ထက္ ငယ္ကုိငယ္ေသာေၾကာင့္ (အေပါင္းကိန္းျပည့္ n တုိင္းအတြက္ 10n သည္ 10ⁿ ထက္မငယ္လွ်င္ပင္ တူေနသည္) ျဖစ္သည္။

ထုိ႕ေၾကာင့္ ကိန္းျပည့္ Z ကုိ 9 ျဖင့္စားလွ်င္ ရမည့္ စားၾကြင္း = Z mod 9 = h(Z) = z' if z' < 9; h(z') otherwise; ဟူ၍ တပတ္လည္ မွီခ်က္ recursive function hကုိ အသံုးျပဳကာ စားၾကြင္း Z mod 9 ကုိရွာျခင္းသည္ တခ်ိန္ခ်ိန္တြင္ စုဆံု (converge) မည္မွာ မုခ်ျဖစ္ေၾကာင္း သိႏုိင္သည္။

သုိ႕ရာတြင္ မွီခ်က္ h= f ပင္ ျဖစ္သျဖင့္ f(Z) = Z mod 9 ျဖစ္ပါသည္။

ေရွးထံုးလဲ ပယ္မွ

အင္ဂ်င္ႏုယဥ္က ေဒၚလာသန္းေပါင္းမ်ားစြာတန္တဲ့ နည္းပညာကုိ ကုမၸဏီအတြက္ ဖန္တီးတီထြင္ေပးတာေတာင္မွ အကာနဲ႕အႏွစ္ခြဲျခား မသိေလာက္ေအာင္ တံုးအၿပီး ည့ံဖ်င္းတဲ့ မန္ေနဂ်ာက အ၀တ္အစား နည္းနည္းေလး ေတာက္ေျပာင္ေနတာကုိပဲ အျပစ္ေျပာေနတဲ့အတြက္ ပညာရွင္ (အင္ဂ်င္ႏုယဥ္) က စိတ္ေပါက္ေပါက္နဲ႕ ေဆာ္ပေလာ္တီးပစ္လုိက္တာပဲ ျဖစ္ပါတယ္။

လူမႈေရး၊ စီးပြားေရး အဖြဲ႕အစည္းေတြမွာ အဓိက ဦးတည္ခ်က္က သက္ဆုိင္ရာ အဖြဲ႕အစည္း စည္ပင္ရွင္သန္ တုိးတက္ေရးပဲ ျဖစ္ပါတယ္။ အဲဒီ တုိးတက္မႈကို သက္ဆုိင္ရာ နယ္ပယ္အသီးသီးရဲ႕ ပညာရွင္ေတြကပဲ ေဆာင္ၾကဥ္းေပးႏုိင္ပါတယ္။ ဟယ္ ... ပညာရွင္က ေရွးထံုးေတြကုိ မလုိက္နာလုိ႕၊ ပညာရွင္က ယဥ္ေက်းမႈနဲ႕ ေလ်ာ္ညီေအာင္ မ၀တ္ဆင္လုိ႕၊ ပညာရွင္က ဘာျဖစ္လုိ႕၊ ညာျဖစ္လုိ႕ဆုိတဲ့ လုပ္ငန္းနဲ႕ မဆုိင္တဲ့ အေၾကာင္းေတြျပၿပီး ပညာရွင္ကုိ အဖြဲ႕အစည္း အတြင္းက ကန္ထုတ္ရင္ အဲဒီ အဖြဲ႕အစည္းပဲ မတုိးတက္ပဲ ေခတ္ေနာက္က် ေအာက္က်ေနာက္က် ျဖစ္က်န္ခဲ့မွာပါ။

ဒါေၾကာင့္ ေရွးထံုးလဲ (ပယ္ဖုိ႕လုိလာရင္) ပယ္မွ။